解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0$ ．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{n!}=0,(a>0)$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-x^{\sin x}}{x^2}$ ．
求级数的和 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) \cdot 3^n}$ ．
证明：若函数 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
计算 $I(a, b)=\int_0^{+\infty} \frac{\cos (a x)-\cos (b x)}{x^2} d x, b>a>0$ ．
设 $n$ 为正整数，且 $x, y>0$ ，证明：$\frac{x^n+y^n}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^n$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续，则存在正数 $a, b$ ，使得 $|f(x)| \leq a|x|+b$.
若 $\Sigma$ 为曲面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=1$ ，取其外侧，计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}}
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，且 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．
证明：函数 $f(x)$ 是常值函数．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，非负且严格单调递增，
由积分中值定理：对 $\forall k \in N _{+}$，存在 $x_k \in[a, b]$ ，使得
$$
\left[f\left(x_k\right)\right]^k=\frac{1}{b-a} \int_a^b[f(t)]^k d t
$$
试求极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} x_k$ ，并证明．