单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{6}$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha_1=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1$ ．当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{x^2}-1}{x \ln (1+2 x)}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\sin ^3 x}$
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x}{x+1}\right)^{\frac{6 x}{x-1}}$
$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}$
求 $I=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n}$
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{\ln (1+x)-a}\left( e ^x-b\right)=2$ ，则 $a=$ $\qquad$ ，$b=$ $\qquad$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n$ 为正整数，$\lambda>0)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+b x^2, x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是
求函数 $f(x)=\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$ 的间断点，并确定其类型．
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| < 1, \\ 0, & |x|=1, g(x)= e ^x, \\ -1, & |x|>1,\end{array}\right.$ 求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作出这两个函数的图形．
已知极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 是否存在？若存在，为多少？
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1+ e ^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin x}{|\ln (1+x)|}\right)=$
证明 $x=\sin x+2$ 至少有一个不超过 3 的实根．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，任取 $p>0, q>0$ ，证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $p f(a)+q f(b)=(p+q) f(\xi)$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\ln (1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+1}{x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}[\cos x+\sin x-\ln (1+x)]^{\frac{1}{x^3}}$ ．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2+5 n}-\sqrt{n^2+n}\right)$ ．
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)=$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right), n=1,2, \ldots$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在．