单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知二元函数 $f(x, y)=\frac{ e ^x}{x-y}$ ，下列式子正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取到
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取到
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取到，最小值在 $D$ 的边界上取到
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取到，最大值在 $D$ 的边界上取到
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $e^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.d z\right|_{(0,0)}=$ $\qquad$
设 $z=f\left( e ^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 有二阶连续偏导数，求 d 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论其在点 $(0,0)$ 处的连续性，偏导的存在性及可微性．
求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^2-y^2$ 的极值．
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ 单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\{1,1,1\}$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right|_{(1,2,3)}=$ $\qquad$ ．
求函数 $u=\ln \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 ${ }_{M(1,2,-2)}$ 处的梯度 $\left.g r a d u\right|_M$ ．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
考察极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2+(x-y)^2}$ ，若存在，请求出；若不存在，说明理由．
设 $f(x, y)=x^2+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{y}{x}}$ ，求 $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(2,1)}$ ．
设函数 $u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) d t$ ，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数，$\psi$ 具有一阶导数，试证 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
已知二元函数 $z=f(x+y, x-y, x y)$ 具有二阶连续偏导，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
已知 $z=f(u, v, w)$ 具有连续偏导数，而 $u=\eta-\zeta, v=\zeta-\xi, w=\xi-\eta$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial \xi}, \frac{\partial z}{\partial \eta}, \frac{\partial z}{\partial \zeta}$ ，
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial \xi \partial \eta}, \frac{\partial^2 z}{\partial \zeta^2}
$$
设 $x^2+y^2+z^2-4 z=0$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
求函数 $f(x, y, z)=x y z$ 在约束条件 $a x+b y+c z=2 S$ ，（ $S$ 为正常数，$x, y, z$ 均为正数）下的最大值．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．
求曲面 $z-e^z+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程．