单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，下列选项错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $A A ^T= A ^T A$
$\text{B.}$ $(A+E)^2=A^2+2 A+E$
$\text{C.}$ $A ^2{ }^n= A ^{n^2}$
$\text{D.}$ $E + A E - A = E - A E + A$
设 $A = E -2 \alpha ^T \alpha$ ，其中 $\alpha =a_1, a_2, \cdots, a_n^{\prime}$ ，且 $\alpha \alpha ^T=1$ ，则 $A$ 不能满足的结论是
$\text{A.}$ $A ^T= A$
$\text{B.}$ $A ^T= A ^{-1}$
$\text{C.}$ $A A ^T= E$
$\text{D.}$ $A ^2= A$
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则（ ）。
$\text{A.}$ $\quad A ^*{ }^*=| A |^{n-1} A$
$\text{B.}$ $A ^*=| A |^{n+1} A$
$\text{C.}$ $A^*=|A|^{n-2} A$
$\text{D.}$ $A ^{* *}=| A |^{n+2} A$
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$k \neq 0, k \neq \pm 1$ ，则 $k A ^*$ 等于（ ）。
$\text{A.}$ $k A ^*$
$\text{B.}$ $\frac{1}{k} A^*$
$\text{C.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{D.}$ $k^n A ^*$
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得到 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3列得到 $C$ ，则满足 $A Q = C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为 。
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设三阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，且 $r A ^*=1$ ，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $A =\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 则 $A ^4=$ $\qquad$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right), E$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A = B +2 E$ ，则 $|B|=$ $\qquad$
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $\left|A A^*\right|=$ $\qquad$
已知 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $2 A^{*-1}=$ $\qquad$ $3 A^*=$
若 $A =\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^3=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\alpha =1,2,3, \beta =\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ ，设 $A = \alpha ^T \beta$ ，其中 $\alpha ^T$ 是 $\alpha$ 的转置，则 $A ^n=$
设 $\alpha=(1,0,-1), \beta=(1,0,2)$ ，求 $\alpha^T \beta, \beta \alpha^T,\left(\alpha^T \beta\right)^{2022}$ ．
已知 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha$ ：均为 3 维列向量，记矩阵为 $A = \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ ，如果 $| A |=1$ ， $B=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3$ ，那么 $|B|=$ $\qquad$
求矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 3\end{array}\right)$ 的秩．