单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(\sin x)-3 f(1-\cos x)}{x^2}$ 等于（ ）。
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2} f^{\prime}(0)$
函数 $f(x)=\sin (x-2) \cdot \sin (x-4) \cdot\left|(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4\right|$ 不可导点的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3} x^3, & x \leq 1, \\ x^2, & x>1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 ．
$\text{A.}$ 左、右导数都存在
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在
$\text{D.}$ 左、右导数都不存在
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，求：
（1） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ ；
（2） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{2 h}$ ．
设 $f^{\prime}(x)$ 存在，求极限 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+2 a \Delta x)-f(x+b \Delta x)}{5 \Delta x}$ ，其中 $a, b$ 为非零常数．
设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 处连续，讨论函数 $f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 处的可导性．
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求等边双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出在该点处的切线及法线方程．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^2+b, & x \leq 1, \\ \ln x, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导．试求 $a, b$ ．
$ x=\varphi(y)$ 是 $y=f(x)(x \geq 0)$ 的反函数，且 $f(x)=e^{x^2+x+1}$ ，求 $\varphi^{\prime}(e)$ ．
求导
(1) $y=(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}-1)$;
(2) $y=\frac{x}{2} \sqrt{x^2+4}-2 \ln \left(x+\sqrt{x^2+4}\right)$;
求导
(3) $y=\ln \left[\sin \left(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\right)\right]$;
(4) $y=\sin \left[\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right]$.
设 $y=f\left(\frac{3 x+1}{2 x-1}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(x^2-17\right)$ ，试求 $y^{\prime}(1)$ ．
求下列函数的二阶导数
（1）$y=e^x \sin x$ ；
（2）$y=\left(1+x^2\right) \arctan x$ ．
设 $y=x^2 \ln (1+x)$ ，则 $y^{(n)}(0)=$ $\qquad$ $(n \geq 3)$ ．
设 $f(x)=x^2 e^{3 x+2}$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设 $y=\tan (x+y)$ ，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，求 $y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0)$ ．
$ y=(\sin x)^{\cos x}$ ，求 $y^{\prime}$ ．
$y=\sqrt{\frac{x-1}{x(x+2)}}$ 求 $y^{\prime}$ ．
求函数 $y=e^{-x} \cos (3-x)$ 的微分．
已知 $y=1-x e^y$ ，试求 $d y$ ．