单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设常数 $k>0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{k+n}{n^2}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关
设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 的取值有关
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判定等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ 的敛散性，并在其收敛时求出级数的和．
设数列 $\left\{n a_n\right\}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)$ 都收敛．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛．
判断下列级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n+1}{n+4}\right)^n$ ；
判断下列级数的敛散性
（3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^3}$ ；
（4）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ ；
判断下列级数的敛散性
（5）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）；
（6）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n!}{n^n}$（常数 $a>0$ ）．
讨论下列级数的敛散性．
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ ，其中 $p$ 为常数；
（2）$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^q n}$ 其中 $q$ 为常数．
判断下列级数的收敛性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ ；
判断下列级数的收敛性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n}$ ．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{4 n-1} x^{2 n-1}$ 的收敛半径、收敛区间与收敛域．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{2^n \cdot n}$ 的收敛域．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-5 x+6}$ 展开成 $x+1$ 的幂级数．