解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$ ，求 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^2+y^2 \leq t^2} f\left(x^2+y^2\right) d x d y}{t^4}$ 。
$\int_0^1\left[\int_x^1 e^{y^2} d y\right] d x$
已知 $z=f(x, y)$ 由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 确定，求 $d z |_{(1,0,-1)}$ 。
$\iint_D\left(x^2+y^2\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{4-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 及 $x+y=0$ 所围的平面区域。
$\iiint_{\Omega}\left(x^2+z\right) d v$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z^2=x^2+y^2$ 和平面 $z=1$ 所围的立体。
设 $u=f(x, y, z), y=\varphi(x, t), t=\psi(x, z)$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial z}$ 。
设 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=1$ ，求 $\oint_L\left(x-y^2\right) d s$ 。
$\int_L\left[e^x \sin y-2(x+y)\right] d x+\left[e^x \cos y-x\right] d y$ ，其中 $L$ 是从点 $A(\pi, 0)$ 沿曲线 $y=\sin x$ 到点 $O(0,0)$ 的弧。
过曲线 $y=\sqrt[3]{x}(x \geq 0)$ 上的点 $A$ 作切线，使该切线与曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积为 $\frac{3}{4}$ ，（1）求点 $A$ 的坐标；（2）求该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体的体积 $V_x$ 。
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ 。已知 $f(x, 2 x)=x$ 和 $f_1^{\prime}(x, 2 x)=x^2$ ，求 $f_{11}^{\prime \prime}(x, 2 x)$ 。
3、已知某工厂生产 $A$ 和 $B$ 两种产品，生产 $x$ 单位的产品 $A$ 和生产 $y$ 单位的产品 $B$的总成本是
$$
C(x, y)=x^3+a y^3+b x y \quad(a, b \text { 是常数 }),
$$
总收入是
$$
R(x, y)=\frac{40 x}{x+5}+\frac{20 y}{y+10}+x^3+y^3-3 x y
$$
点 $P(1,1)$ 是函数 $C(x, y)$ 的极值点，
（1）问点 $P$ 是函数 $C(x, y)$ 的极大值点还是极小值点？
（2）若 $x+y=25$ ，求利润 $L(x, y)$ 的最大值。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(x, y)$ 是由 $\varphi(x-a z, y-b z)=0$ 确定，其中 $\varphi$ 可微，$a, b$ 为常数。
证明：曲面 $\varphi(x-a z, y-b z)=0$ 上任一点的切平面与直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-(a+b) z=0, \\ (1+b) x-a y-a z=0\end{array}\right.$平行。