解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{\mu_n\right\}$ 为环 $\mathscr{R}$ 上的一列测度．证明：
$$
\mu(E)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \mu_n(E), E \in \mathscr{R}
$$
也为 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \forall n \in \mathrm{~N}$ ，都有 $\mu_n(E) \leqslant 1$ ，则 $\mu(E) \leqslant 1, E \in \mathscr{R}$ 。
设 $\mu$ 为基本空间 $X$ 的环 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu(E) \leqslant 1$ ．证明：$\mu$ 的＂原子＂（即是 $\mathscr{R}$ 中的元素，它为 $X$ 中的独点集 $\{x\}$ ，且 $\mu(\{x\})>0)$ 的全体为至多可数集．
设 $\mu$ 为基本空间 $X$ 的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu(E) < +\infty$ ．证明：$\mu$的＂原子＂的全体为至多可数集．
举例说明 $\mathscr{R}$ 为＂$\sigma$ 环＂改为＂环＂，上述结论并不成立。