解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 7\end{array}\right|$;
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 6 & 2\end{array}\right|$;
计算 $$\left|\begin{array}{rrr}
-a b & a c & a e \\
b d & -c d & d e \\
b f & c f & -e f
\end{array}\right|$$
计算
$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
b+c & c+a & a+b
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{rrrr}
a & 1 & 0 & 0 \\
-1 & b & 1 & 0 \\
0 & -1 & c & 1 \\
0 & 0 & -1 & d
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 1 \\
1 & 4 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right| .
$$
解方程
$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & 2 & -1 \\ 2 & x+1 & 1 \\ -1 & 1 & x+1\end{array}\right|=0$
解方程
$\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x & a & b & c \\
x^2 & a^2 & b^2 & c^2 \\
x^3 & a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|=0$
其中 $a,b,c$ 互不相等。
证明：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
a^2 & a b & b^2 \\
2 a & a+b & 2 b \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=(a-b)^3 \text {; }
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{lll}
a x+b y & a y+b z & a z+b x \\
a y+b z & a z+b x & a x+b y \\
a z+b x & a x+b y & a y+b z
\end{array}\right|=\left(a^3+b^3\right)\left|\begin{array}{lll}
x & y & z \\
y & z & x \\
z & x & y
\end{array}\right|
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|=0 ;
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
& \left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & b & c & d \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
a^4 & b^4 & c^4 & d^4
\end{array}\right| \\
= & (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
\end{aligned}
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x & -1 & 0 & 0 \\
0 & x & -1 & 0 \\
0 & 0 & x & -1 \\
a_0 & a_1 & a_2 & a_3
\end{array}\right|=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0
$$
$D_n=\left|\begin{array}{lll}a & & 1 \\ & \ddots & \\ 1 & & a\end{array}\right|$,其中对角线上元素都是 $a$,未写出的元素都是 0 ;
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x\end{array}\right|$;
计算 $$D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccc}
a^n & (a-1)^n & \cdots & (a-n)^n \\
a^{n-1} & (a-1)^{n-1} & \cdots & (a-n)^{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a-1 & \cdots & a-n \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right|
$$
计算 $$D_{2 n}=\left|\begin{array}{lllllll}
a_n & & & & & b_n \\
& \ddots & & & . & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& . & & & \ddots & \\
c_n & & & & & d_n
\end{array}\right|
$$ 未写的元素都是0
计算 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & 1+a_2 & & a_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n & a_n & \cdots & 1+a_n
\end{array}\right|
$$
计算 $D_n=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$, 其中 $a_{i j}=|i-j|$;
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$, 其中 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$.
设 $D=\left|\begin{array}{rrrr}3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3\end{array}\right|, D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式记作 $A_{i j}$, 求 $A_{31}+3 A_{32}-2 A_{33}+2 A_{34}$.