解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, $f(0)=g(0)=1$, 且对 $x O y$ 平面上的任一简单闭曲线 $C$, 曲线积分
$$
\oint_C\left[y^2 f(x)+2 y \mathrm{e}^x-8 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y=0,
$$
求函数 $f(x), g(x)$.
求由 $x O z$ 平面上的曲线 $\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+z^2\right)^2=4\left(x^2-z^2\right) \\ y=0\end{array}\right.$ 绕 $O z$ 轴 旋转而成的曲面所包围区域的体积.
证明下列不等式:
(1) 设 $x \in[0, \pi], t \in[0,1]$, 则 $\sin t x \geq t \sin x$;
(2) 设 $p>0$, 则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin u|^p \mathrm{~d} u \geq \frac{\pi}{2(p+1)}$;
(3) 设 $x \geq 0, p>0$, 则 $\int_0^x|\sin u|^p \mathrm{~d} u \geq \frac{x|\sin x|^p}{p+1}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上具有一阶连续导数, 证 明: $\int_a^b \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^2} \mathrm{~d} x \geq \sqrt{(a-b)^2+[f(a)-f(b)]^2}$, 并给出等号成立的条件.
证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{2 n}\right) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{2 n+1}\right)$ 收敛, 并求其 和,
对实数 $r$, 用 $\|r\|$ 表示 $r$ 和最近的整数的距离: $\|r\|=\min \{|r-n|: n \in \mathbb{Z}\}$.
1. 试问是否存在非零实数 $s$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|(\sqrt{2}+1)^n s\right\|=0$ ?
2. 试问是否存在非零实数 $s$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|(\sqrt{2}+3)^n s\right\|=0$ ?