单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵,下列命题正确的有
(1) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(3) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^2$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(4) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right)$. 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似, 则常数 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $k>0$ 且 $k \neq 2$.
$\text{B.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-2$.
$\text{C.}$ $k>0$ 且 $k \neq 3$.
$\text{D.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-3$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1^2+a x_2^2+4 x_1 x_2$ 对应的矩阵与 $\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同, 则
$\text{A.}$ $a>2, b=3$.
$\text{B.}$ $a < 2, b=3$.
$\text{C.}$ $a>2, b=\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $a < 2, b=\frac{2}{3}$.
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是( )
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2$ 分别是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量,则
$\text{A.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{B.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
$\text{C.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时, $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{D.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
设 $\mathrm{a}=2$ 是可逆矩阵 $\mathrm{A}$ 的一个特征值, 则 $A^{-1}$ 有一个特征值等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$;