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线性代数辅导卷

数学

本试卷总分100分,考试时间120分钟。

出卷人：24国际经济与贸易（2）顾陈佳木

金陵科技学院专用

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设

| \begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} | = m

, 则

| \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{array} | = \begin{array}{lll}  \end{array}

A.

6 m

B.

- 6 m

C.

2^{3} 3^{3} m

D.

- 2^{3} 3^{3} m

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2. 设

n

阶方阵

A, B, C

满足关系式

A B C = E

, 其中

E

是

n

阶单位阵, 则必有

A.

A C B = E

B.

C B A = E

C.

B A C = E

D.

B C A = E

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3. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}

都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式

| α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} | = m, | α_{1}, α_{2}, β_{2}, α_{3} | = n

, 则 4 阶行列式

| α_{3}, α_{2}, α_{1}, β_{1} + β_{2} |

等于

A.

m + n

B.

- (m + n)

C.

n - m

D.

m - n

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4. 已知向量

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (1, 2, 1)^{T}, α_{3} = (3, 1, 2)^{T}

, 记

β_{1} = α_{1}, β_{2} = α_{2} - k β_{1}

β_{3} = α_{3} - l_{1} β_{1} - l_{2} β_{2}

, 若

β_{1}, β_{2}, β_{3}

两两正交, 则

l_{1}, l_{2}

依次为 ( ).

A.

\frac{5}{2}, \frac{1}{2}

;

B.

- \frac{5}{2}, \frac{1}{2}

;

C.

\frac{5}{2}, - \frac{1}{2}

;

D.

- \frac{5}{2}, - \frac{1}{2}

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A, B

都是 n 阶矩阵，且

A B = 0

，则必有

A.

A = 0

或

B = 0

B.

| A | = | B | = 0

C.

A = B = 0

D.

| A | = 0

或

| B | = 0

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6. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则线性方程组

(A B) X = 0

（）

A.

当

m > n

时，仅有零解

B.

当

m > n

时，必有非零解

C.

当

n > m

时，仅有零解

D.

当

n > m

时，必有非零解

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7. 设三阶矩阵

A

的特征值是

- 2, - 1, 2

, 矩阵

B = A^{3} - 3 A^{2} + 2 E

, 则

| B | =

A.

-4 ;

B.

-16 ;

C.

-36 ;

D.

-72 .

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8. 设方阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k^{2} \end{array})

是正定矩阵, 则必有 ( )。

A.

k > 0

;

B.

k > 1

;

C.

k > 2

;

D.

k > - 1

。

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

A

是 3 阶矩阵，已知

A^{- 1} = [\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]

，则

| A^{*} | =

．

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10. 已知矩阵

A = (\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array})

，则

A^{*} =

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11. 向量组

α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, α_{2} = (2, 4, 1)^{T}, α_{3} = (1, 5, 1)^{T}

的秩为

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12. 已知矩阵

A = [\begin{array}{cccc} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{array}]

, 且

A

的秩

r (A) = 3

, 则

k =

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13. 若向量组

α_{1} = (1, 1, 0), α_{2} = (1, 3, - 1), α_{3} = (5, 3, t)

线性相关，则

t =

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14. 向量

γ

在

α_{1} = [1, 0, 1]^{T}, α_{2} = [0, 1, - 1]^{T}, α_{3} = [1, 2, 0]^{T}

下的坐标是

[5, 7, - 4]^{T}

, 则在

β_{1} = [1, 0, 1]^{T}, β_{2} = [- 1, 1, 1]^{T}, β_{3} = [1, - 2, - 2]^{T}

下的坐标是

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15. 设

a = (1, k, 0), b = (0, 1, k), c = (k, 0, 1)

．如果向量

a, b, c

线性无关，则实数 k 的取值范围是

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16. 已知 4 元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3 , 又

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是它的 3 个解向量, 其中

α_{1} + α_{2} = (1, 1, 0, 2)^{T}, α_{2} + α_{3} = (1, 0, 1, 3)^{T}

, 则该非齐次线性方程组的通解为

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17. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 3 \\ x & y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

有三个特征值为

0, 1

和 2 ，则

x =

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18. 二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 4 x_{1} x_{3} + 10 x_{1} x_{4} + 18 x_{2} x_{3} + 8 x_{3} x_{4}

的矩阵表达式为

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 计算

| \begin{array}{cccc} 4 & - 2 & 5 & 1 \\ - 2 & 3 & 3 & - 1 \\ 0 & 4 & 0 & - 4 \\ 1 & 4 & - 2 & 1 \end{array} |

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20. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 2 & 3 & - 1 \\ - 2 & 4 & 0 \end{array})

．求（1）

A B^{T}

；（2）

| 4 A |

．

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21. 求矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 3 & 2 & - 5 \end{array}]

的逆矩阵．

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22. 求向量组

α_{1} = (1, 1, 2, 0)^{T}, α_{2} = (- 2, - 1, - 2, 2)^{T}, α_{3} = (3, 4, 4, - 4)^{T}, α_{1} = (- 1, - 1, 0, 3)^{T}

的秩以及一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量

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23. 已知非齐次线性方程组

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} - x_{4} = 1, \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 4 x_{4} = 4, \\ x_{1} + 5 x_{2} - 9 x_{3} - 8 x_{4} = 0, \end{matrix}

求方程组的通解

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24. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & a & b \\ 2 & c & - 2 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 2 & d_{1} & 1 \\ d_{2} & d_{3} & d_{4} \end{array})

且

A B = O

.
(I) 求常数

a, b, c

;
(II) 判断

A

是否可相似对角化, 若

A

可相似对角化,则求可逆矩阵

P

, 使得

P^{- 1} A P

为对角矩阵, 反之说明理由.

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25. 化二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} - 2 x_{2} x_{3} - x_{3}^{2}

为标准形，并写出所作的可逆线性变换．

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