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研途考研高数测试卷

数学

本试卷总分150分,考试时间180分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，则

f^{'} (0) = ()

．

A.

n

！

B.

(n - 1)

！

C.

- n

！

D.

- (n - 1)

！

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2. 设函数

y = y (x)

由方程

e^{y} + x y = e

所确定，则

y^{''} (0) = ()

．

A.

\frac{1}{e^{2}}

B.

- \frac{1}{e^{2}}

C.

\frac{1}{e}

D.

\frac{2}{e^{2}}

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3. 设

{\begin{cases} x = \sin t, \\ y = t \sin t + \cos t, \end{cases}

参数为

t

，则

{\frac{d y}{d x} |}_{t = \frac{π}{4}} = ()

．

A.

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{2}

D.

π

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4. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}}, & x > 0, \\ x^{2} g (x), & x \leq 0 . \end{cases}

其中

g (x)

是有界函数，则

f (x)

在

x = 0

处（）

A.

极限不存在

B.

极限存在但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

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5. 利用泰勒公式，当

x \to 0

时，

f (x) = 1 - \cos x \cos 2 x \cos 3 x

的等价无穷小为（）。

A.

5 x^{2}

B.

7 x^{2}

C.

- 5 x^{2}

D.

- 7 x^{2}

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6. 设

f (x), g (x)

是恒大于零的可导函数，且

f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x) < 0

，则当

a < x < b

时，下列结论成立的是（）

A.

f (x) g (b) > f (b) g (x)

B.

f (x) g (a) > f (a) g (x)

C.

f (x) g (x) > f (b) g (b)

D.

f (x) g (x) > f (a) g (a)

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7. 设函数

f (x)

满足关系式

f^{''} (x) + {[f^{'} (x)]}^{2} = x

且

f^{'} (0) = 0

，则（）

A.

f (0)

是

f (x)

的极大值

B.

f (0)

是

f (x)

的极小值

C.

点

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点

D.

f (0)

不是

f (x)

的极小值，点

(0, f (0))

也不是曲线

y = f (x)

的拐点

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8. 曲线

y = \frac{1}{x} + \ln (1 + e^{x})

渐近线的条数为（）

A.

B.

C.

D.

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9. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} 2 (x - 1), & x < 1 \\ \ln x, & x ⩾ 1 \end{cases}

，则

f (x)

的一个原函数是（）

A.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1, \\ x (\ln x - 1), & x ⩾ 1, \end{cases}

B.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1, \\ x (\ln x + 1) - 1, & x ⩾ 1, \end{cases}

C.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1, \\ x (\ln x + 1) + 1, & x ⩾ 1, \end{cases}

D.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1, \\ x (\ln x - 1) + 1, & x ⩾ 1, \end{cases}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 已知

f (x)

在

x = 0

处可导，

f (0) = 0

，则极限

lim_{x \to 0} \frac{f (x^{3}) - 2 x^{2} f (x)}{\ln (1 + x^{3})} =

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11. 设曲线

y = f (x)

和

y = x^{2} - x

在点

(1, 0)

处有公共的切线，则

lim_{n \to \infty} n f (\frac{n}{n + 2}) =

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12. 已知函数

f (x) = \frac{1}{3 x - 4}

，则

f^{(n)} (0) =

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13. 曲线

y = \sqrt[3]{x}

的拐点为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 设曲线

y = a x^{2}

与

y = \ln x

相切，求

a

的值及其公共切线．

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15. 已知

f (x) = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - n)

，求

f^{(n)} (x)

．

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16. 已知函数

y = \frac{x^{3}}{(x - 1)^{2}}

，求：
（1）函数的单调区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点；
（3）函数图形的渐近线．

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17.

\int \frac{\arctan x}{1 + x^{2}} d x

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18.

\int x^{2} \sqrt{x^{3} - a^{2}} d x

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19. 不定积分

\int \frac{e^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x =

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