证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上连续；在开区间 $(0, \pi)$ 内可导，证明：存在 $\xi \in(0, \pi)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=-f(\xi) \cot \xi$ ．
已知 $0 < a < b$ ，证明：$\xi \in(a, b),\left(\ln ^2 b-\ln ^2 a\right) \xi=2(b-a) \ln \xi$ ．
用两种方法证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln (1+x) < x$ ．
证明 $\forall x \in R, \arctan e ^x+\arctan e ^{-x} \equiv \frac{\pi}{2}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，其中 $0 < a < b$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=(a+b) \cdot \frac{f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}
$$