单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
设有二元方程 $x^2+y^2-y+\ln (1+x y)=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(1,0)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 既能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，也能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{B.}$ 既不能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，也不能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{C.}$ 不能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，但可以确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{D.}$ 可以确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，但不能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$.
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \beta_1(x), \beta_2(x)$ 都是非零无穷小量，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ ， $\beta_1(x) \sim \beta_2(x)$ ，则下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_2(x)-\beta_2(x)=o\left(\alpha_2(x)\right)$ ．
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1(x)-\beta_1(x)=o\left(\alpha_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_2(x) \sim \beta_2(x)$ ．
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1(x)=o\left(\beta_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$