单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
下列等式中，正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{x}{\min x}}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{\operatorname{mix}}{x}}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{x}{\sin x}}=e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{\sin x}{x}}=e$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时都是无穷大，则 $f(x)+g(x)$ 无界．
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内不一定有界．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在， $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)$ 一定不存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷大．
函数 $f(x)=\frac{(x-1) \sin x}{|x|\left(x^2-1\right)}$ 的第二类间断点的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
在 $(-\infty,+\infty)$ 内，函数 $f(x)=x \cos x$ 是（ ）．
$\text{A.}$ 单调的
$\text{B.}$ 有界的
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 奇函数
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x>0 \\ \ln \left(a+x^2\right), x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1／e
$x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{2}{1+e^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的 间断点．
$\text{A.}$ 可去；
$\text{B.}$ 跳跃；
$\text{C.}$ 振荡；
$\text{D.}$ 无穷．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
曲线 $y=\frac{2 x^2+3 x-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线为
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x \ln (1+x)+a x+h x^2}}= e$ ，则 $a b=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(a-6) \sin x+x^a \cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a \ln (1-a x), & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导．
（1）求参数 $a$ ；
（2）令 $\varphi(x)=f(x)\left( e ^x-1\right)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0), \varphi^{\prime \prime}(0)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[\int_0^{u^2} \arctan (1+t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} u}{\ln (1+x) \int_0^1 \tan (x t)^2 \mathrm{~d} t}$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．