单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
函数 $f(x)=\frac{|x|^x-1 \mid}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{c}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．
设函数 $f(x)=x\left[\frac{1}{x}\right](x>0)$, 其中 $\left[\frac{1}{x}\right]$ 表示不超过 $\frac{1}{x}$ 的最大整数, 则( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续
$\text{B.}$ $f(x)$ 只有有限个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 只有无限个跳跃间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 只有无限个可去间断点
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 x^n-2 x^{-n}}{2 x^n+x^{-n}} \cos \frac{1}{x^2}$ ，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个第一类间断点．
$\text{B.}$ 三个第一类间断点。
$\text{C.}$ 两个第一类间断点和一个第二类间断点。
$\text{D.}$ 一个第一类间断点和一个第二类间断点．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\ln \left(1+a x^3\right)}{x-\arcsin x} & x < 0 \\ 6 & x=0 \\ \frac{e^{a x}+x^2-a x-1}{x \sin (x / 4)} & x>0\end{array}\right.$ ，问 $a$ 为何值时， $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续； $a$ 为何值时， $x=0$ 是 $f(x)$的可去间断点?
设
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2}{x^2}(1-\cos x), & x < 0 \\ 1, & x=0 \\ \frac{1}{x} \int_0^x \operatorname{cost}^2 \mathrm{~d} t, & x>0\end{cases}
$$
讨论$x=0$ 处的连续性和可导性.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2 x^2, x < -1 \\ x^3,-1 \leq x \leq 2 \\ 12 x-16, x>2\end{array}\right.$ :
(1) 写出 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 的表达式；
(2) 问 $g(x)$ 是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.
讨论函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2 n}+2^n\right)}{n}(x>0)$ 的连续性．