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张宇考研数学《高数》基础训练进阶版
一、解答题 (共 4 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1.
求微分方程
x
d
y
+
(
x
−
2
y
)
d
x
=
0
的一个解
y
=
y
(
x
)
,使得由曲线
y
=
y
(
x
)
与直线
x
=
1
,
x
=
2
及
x
轴所围成的平面图形绕
x
轴旋转一周所得旋转体体积最小.
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2.
现有函数
u
(
x
,
t
)
,试利用变量代换
{
ξ
=
x
−
2
t
,
η
=
x
+
3
t
将
u
关于变量
x
,
t
的方程
6
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
∂
t
−
∂
2
u
∂
t
2
=
0
化为
u
关于变量
ξ
,
η
的方程,其中
u
具有二阶连续偏导数.
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3.
计算
I
=
∮
Σ
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
(
x
2
+
y
2
+
4
z
2
)
1
2
,其中
Σ
:
(
x
−
1
)
2
+
y
2
+
z
2
=
a
2
(
a
>
0
且
a
≠
1
)
,取外侧.
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4.
设
D
是由封闭曲线
x
2
+
y
2
=
a
(
x
+
x
2
+
y
2
)
所围成的有界闭区域,其中常数
a
>
0
.求二重积分
I
=
∬
D
[
x
2
ln
(
y
+
1
+
y
2
)
+
x
x
2
+
y
2
]
d
x
d
y
.
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