张宇考研数学《高数》基础训练进阶版



一、解答题 (共 4 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 求微分方程 xdy+(x2y)dx=0 的一个解 y=y(x) ,使得由曲线 y=y(x) 与直线 x=1x=2x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小.

2. 现有函数 u(x,t) ,试利用变量代换 {ξ=x2t,η=x+3tu 关于变量 x,t 的方程 62ux2+2uxt2ut2=0化为 u 关于变量 ξ,η 的方程,其中 u 具有二阶连续偏导数.

3. 计算 I=Σxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+4z2)12 ,其中 Σ:(x1)2+y2+z2=a2(a>0a1) ,取外侧.

4.D 是由封闭曲线 x2+y2=a(x+x2+y2) 所围成的有界闭区域,其中常数 a>0 .求二重积分 I=D[x2ln(y+1+y2)+xx2+y2]dxdy

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