清华大学23-24学年《高等数学上》秋季学期微积分A(1)期末考试

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清华大学23-24学年《高等数学上》秋季学期微积分A(1)期末考试

一、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

y = x \ln (e + \frac{1}{x^{2}})

的斜渐近线为

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lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n}}) =

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3. 记

F (x) = \int_{0}^{x^{2}} \cos (π t^{2}) d t

，则

F^{'} (1) =

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4. 设

f (x) = min {x^{2}, 1}

，则

\int_{0}^{2} f (x) d x =

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5. 常微分方程

y^{'} + 2 x y = 2 x

的通解为。

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\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{e^{x} + 1} =

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7. 常微分方程

x^{2} y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0 (x > 0)

的通解为

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8. 设

p > 0

，广义积分

^{+} \int_{1}^{+ \infty} x^{2} \ln (1 + \sin \frac{1}{x^{p}}) d x

收敛，则实数

p

的取值范围是。

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9. 由曲线段

y = \sqrt{x - \frac{1}{4}}, x \in [1, 4]

绕

x

轴旋转一周所成旋转面的面积为。

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10. 设连续函数

f (x)

满足

2 \int_{1}^{x} f (t) d t = x f (x) + x^{2}

，则

f^{'} (1) =

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 求积分

\int_{0}^{e} \cos (\ln x) d x

的值。

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12. 求常微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解。

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13. 求函数

y = 4 e^{- x} (2 x^{2} + x + 1) - 5

的单调区间，极值，上凸区间与下凸区间，以及拐点的横坐标。

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14. 设

D

为

y = \sqrt{x (1 - x)}

与

x

轴围成的有界区域。
（I）求

D

的面积；
（II）求

D

绕

x

轴旋转一周所成旋转体体积

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15. 设平面曲线

y = y (x)

满足

y (0) = 1, y^{'} (0) = 0

，且对曲线上任意点

P (x, y)

（

x > 0)

，沿曲线从点

(0, 1)

到点

P (x, y)

的弧长等于该曲线在点

P (x, y)

的切线斜率，求

y (x)

（

x > 0

）

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三、证明题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设

f (x)

是

R

上以

T

为周期的周期函数，且连续，证明：
（I）函数

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t - \frac{x}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t

是以

T

为周期的周期函数；
（II）

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t

。

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17. 设可导函数

f (x)

满足

f (1) = 1

，且对

x \geq 1

时，有

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2} (x)}

。
（ I ）证明：

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限；
（II）证明：

lim_{x \to + \infty} f (x) \leq 1 + \frac{π}{4}

。
附加题（本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判

A +

）
设

f \in C [0, 1], g

为非负的周期函数，周期为 1 ，且

g \in R [0, 1]

，求证：

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} f (x) g (n x) d x = (\int_{0}^{1} f (x) d x) (\int_{0}^{1} g (x) d x) .

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