单选题 (共 9 题 ),每题只有一个选项正确
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中,$a_{1}=2, a_{5}=3 a_{3}$ ,则 $a_{3}$ 等于
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 6
记等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{6}=16, S_{5}=35$ ,则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列,$a_{1}+a_{2}=4, a_{7}+a_{8}=28$ ,则该数列前 10 项和 $S_{10}$ 等于
$\text{A.}$ 64
$\text{B.}$ 100
$\text{C.}$ 110
$\text{D.}$ 120
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $m$ 项之和为 30 ,前 $2 m$ 项和为 100 ,则它的前 $3 m$ 项的和为( )
$\text{A.}$ 130
$\text{B.}$ 170
$\text{C.}$ 210
$\text{D.}$ 260
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $a_{3}=\frac{5}{2}, S_{9}=9$ ,则 $a_{7}=()$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 2
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ,若 $\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{3 n-2}{2 n+1}$ ,则 $\frac{a_{7}}{b_{7}}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{37}{27}$
$\text{B.}$ $\frac{19}{14}$
$\text{C.}$ $\frac{39}{29}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,若 $a_{1}=2$ ,且 $a_{4}+a_{19}=0$ ,则 $S_{21}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项为正数,$\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}^{2}=b_{n} b_{n+1}, a_{n}+a_{n+1}=2 b_{n+1}$ ,则
$\text{A.}$ $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列
$\text{B.}$ $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列
$\text{C.}$ $\left\{\sqrt{b_{n}}\right\}$ 是等差数列
$\text{D.}$ $\left\{\sqrt{b_{n}}\right\}$ 是等比数列
记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ,则 $S_{5}=$
$\text{A.}$ 25
$\text{B.}$ 22
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 15
多选题 (共 2 题 ),每题有多个选项正确
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,已知 $S_{n}=-n^{2}+7 n$ ,则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列
$\text{B.}$ $a_{10}=-14$
$\text{C.}$ 当 $n > 4$ 时,$a_{n} < 0$
$\text{D.}$ 当 $n=3$ 或 4 时,$S_{n}$ 取得最大值
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{6} > S_{7} > S_{5}$ ,则下列命题中正确的是( )
$\text{A.}$ $d < 0$
$\text{B.}$ $S_{11} > 0$
$\text{C.}$ $S_{12} > 0$
$\text{D.}$ 数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 中最大项为 $S_{11}$
解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ,且 $d > 1$ .令 $b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$ ,记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(1)若 $3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21$ ,求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2)若 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列,且 $S_{99}-T_{99}=99$ ,求 $d$ .
记 $S_{n}$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和,若 $a_{3}=S_{5}, a_{2} a_{4}=S_{4}$ .
( I )求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ;
( II )求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值.
记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和,已知 $a_{1}=-9, S_{3}=-15$ .
(1)求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2)求 $S_{n}$ ,并求 $S_{n}$ 的最小值.
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中,$a_{1}=a_{2}=1$ ,且 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=4$ .
(1)令 $b_{n}=a_{2 n-1}$ ,证明:数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列,并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2)记数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,求 $S_{23}$ .
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且满足 $a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n}=-2 S_{n} S_{n-1}(n \geqslant 2)$ .
(1)求证:数列 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 是等差数列;
(2)求 $S_{n}$ 和 $a_{n}$ .
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{n}=\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{a_{n}}$ .
(1)证明:数列 $\left\{S_{n}^{2}\right\}$ 是等差数列;
(2)设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ,若 $T_{n}=S_{n}^{2}$ ,求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式.