填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x, y, z)=x^2+x y$ 在 $(1,0,1)$ 处沿方向 $\vec{v}=(2,-1,2)$ 的方向导数为
设 $z=\arctan \left(x y^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,1)}=$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right)^p \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 点的两个偏导数存在，则 $p$ 的范围为
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\cos \left(n^3\right)}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n}\right)$ 的敛散性（选填：＂绝对收敛＂、＂条件收敛＂或＂发散＂）
$\int_0^{\frac{1}{2}} d x \int_0^{\sqrt{3 x}} d y+\int_{\frac{1}{2}}^1 d x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} d y=$
设 $L: x^2+(y-1)^2=1$ ，则 $\int_L\left(x \sqrt{x^2+y^2}+x^2+y^2\right) d l=$
设 $L^{+}:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1 \\ z=x\end{array}\right.$, 从 $z$ 轴正向朝下看去，逆时针方向为正方向，则 $\int_{L^+} x z d z=$
微分方程 $\left(2 x y^3-y^2 \cos x\right) d x+\left(1-2 y \sin x+3 x^2 y^2\right) d y=0$ 的通解为
设 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0=0$ 处的 Taylor 级数为
设函数 $f(y)$ 可微，且 $\int_{L(A)}^{(B)}\left(z^2 f(y)+ e ^x\right) d x+\left(x z^2+\cos y\right) d y+(2 x y z-z) d z$ 与路径无关，则 $f(y)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\iint_D \frac{2 x d x d y}{y^2+x y^3}$ ，其中 $D$ 是由曲线 $x y=1, x y=2, y^2=x, y^2=2 x$ 围成的有界区域。
曲面 $\Sigma: x=u \cos v, y=u \sin v, z=v(0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 2 \pi)$ ．求 $\iint_{\Sigma} \frac{z}{\sqrt{1+x^2+y^2}} d S$ ．
设 S 是有界闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4, z \geq \sqrt{x^2+y^2}\right\}$ 的边界面的外侧，求 $I=\oint_{ s } x z d y d z+y z d z d x+z \sqrt{x^2+y^2} d x d y$
计算 $\oint_{L^{+}} \frac{y d x-(x-2) d y}{(x-2)^2+4 y^2}$ ，其中 $L^{+}: x^2+y^2=10$ ，逆时针方向。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^n}{(n+1)!}$ 的收敛域及和函数。
设 $f(x)$ 为 $2 \pi$ 周期函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上的定义为 $f(x)=\frac{2 \pi|x|-x^2}{4}, x \in[-\pi, \pi]$ ．
（I）求 $f(x)$ 的 Fourier 级数；
（II）利用 $f(x)$ 的 Fourier 级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ；
（III）利用 $f(x)$ 的 Fourier 级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ ．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(附加题)设 $f_n(x)(n=1,2, \cdots)$ 在区间 $[a, b]$ 上可微，且 $\exists M>0$ ，使得 $\forall n=1,2, \cdots, \forall x \in[a, b]$ ，都有 $\left|f_n^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：若函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上逐点收敛，则 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛数
设函数 $f(x, y, z)$ 在单位球 $B=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}$ 上连续可微，且当 $(x, y, z)$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$ 时，$f(x, y, z)=0$ ．证明：
（I） $\iiint_B\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) d x d y d z=-3 \iiint_B f(x, y, z) d x d y d z$ ；
（II）$\left|\iint_B f(x, y, z) d x d y d z\right| \leq \frac{\pi}{3} \max _{(x, y, z) \in B}\|\nabla f(x, y, z)\|$ ，其中 $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$ ．