解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x, y)=\ln \left(2 e^x+e^y\right), \vec{l}=(1,2)$ ，求 $\left. d f\right|_{(0,0)}$ 与 $\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(0,0)}$
已知 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ，设 $g(x, y)=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，证明：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=x^2+y^2$ 。
求 $f(x, y)=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 25\right\}$ 上的最值。
求积分 $I=\iint_D \sqrt{y^2-x y} d x d y$ ，其中区域 $D$ 是由 $x=0, y=1, y=x$ 围成。
求由曲面 $z=x^2+y^2$ 与 $z=2 \sqrt{x^2+y^2}$ 所围成立体的体积。
求曲线积分 $I=\int_L\left(x^2+y\right) d s$ 其中 $L:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ y+2 z=1\end{array}\right.$