解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\iint_D\left(\sin x^2 \cos y^2+x \sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant \pi\right\}$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件: $a_0=1$, 且 $a_n=\frac{2 n-1}{2 n} a_{n-1}, S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2 n}$ 的和函数.
（I）证明：当 $x \in(-1,1)$ 时， $S(x)$ 满足微分方程 $\left(1-x^2\right) S^{\prime}(x)=x S(x)$ ，并求出 $S(x)$ ；
（II）设平面闭区域 $D$ 是由曲线 $y=S(x)\left(-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
某公司通过电视和报纸两种形式作广告, 已知销售收入 $R$ (万元) 与电视广告费 $x$ (万元)、报纸广告费 $y$ （万元）有如下关系：
$$
R(x, y)=13+15 x+33 y-8 x y-2 x^2-10 y^2
$$
(I) 计算 $L(x, y)$ 的最大值;
(II) $L(x, y)$ 在 $x+y=2$ 条件下的最大值.
在 $(0,1)$ 内随机取两点, 且两点之间的距离为 $X$, 求
(I) 求随机变量 $X$ 的概率密度函数;
(II) 求 $E\left(e^{-x}\right)$.
设函数 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2}$ 满足等式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D e^{s^2+s^2} d s d t+\pi$, 其中区域 $D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant r^2\right\}$, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$, 求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式.
已知 $a_n=\int_{-1}^1 \frac{x^{2 n}}{1+e^x} d x$, 其中 $n=0,1,2, \cdots$, 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
设曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x \geqslant 0)$ 的拐点的横坐标为 $x=a$,
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 若 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x < a, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^2}\right\}$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积.
矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 6\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]$, 已知存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P ^T A P = B$, 其中
$a$ 为未知参数, 则
(I) 求参数 $a$;
(II) 求可逆矩阵 $P$, 使得 $P ^T A P = B$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\lambda e^{-\lambda(x-a)}, x>a, \\
0, x \leqslant a,
\end{array}\right.
$$
其中 $\lambda>0, a>0$ 为已知参数，记 $Y=\sqrt{X-a}$.
(I) 求 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_1$ 和最大似然估计量 $\hat{\lambda}_2$.
(II) 求 $Y$ 的数学期望 $E Y$ 的最大似然估计量 $\hat{E}$.