解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
写出下列二次型的矩阵，并求它们的秩.
(1) $f_1=3 x_1^2+2 x_2^2-x_3^2+2 x_1 x_2-4 x_2 x_3$.
(2) $f_2=x_1^2-2 x_1 x_3$.
(3) $f_4=\left[\begin{array}{lll}x_1 & x_2 & x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right]$.
二次型
$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2 \\
& g(u, v)=6 u^2+2 v^2
\end{aligned}
$$
试求可逆矩阵 $C$ ，使得 $f$ 的二次型矩阵 $A$ 与 $g$ 的二次型矩阵 $B$ 合同，即 $B=C^{ T } A C$.
求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形. $f(x, y)=3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2$.
求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形. $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-2 x_1 x_4-2 x_2 x_3+2 x_2 x_4+2 x_3 x_4$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$ ，记
$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right), \quad \beta =\left(\begin{array}{l}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}\right) .
$$
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^{ T }+\beta \beta^{ T }$ ；
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2$ 经正交变换
$$
\binom{x_1}{x_2}=Q\binom{y_1}{y_2}
$$
化为二次型
$$
g\left(y_1, y_2\right)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2
$$
其中 $a \geq b$.
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求正交矩阵 $Q$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+4 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_3$.
(1) 求正交变换 $X=Q Y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形；
(2) 证明: $\min _{X \neq 0} \frac{f(X)}{X^T X}=2$ 。