单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
k x_1+x_2+x_3=1, \\
x_1+k x_2=3, \\
3 x_1+x_2+x_3=1
\end{array}\right.
$$
有唯一解，则
$\text{A.}$ $k=0$ 或 $k=3$
$\text{B.}$ $k \neq 0$
$\text{C.}$ $k \neq 3$
$\text{D.}$ $k \neq 0$ 且 $k \neq 3$
设 $\xi _1=[1,-2,3,2]^{ T }, \xi _2=[2,0,5,-2]^{ T }$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系,则下列向量中是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解向量的是 ( ).
$\text{A.}$ $\alpha _1=[1,-3,3,3]^{ T }$
$\text{B.}$ $\alpha _2=[0,0,5,-2]^{ T }$
$\text{C.}$ $\alpha _3=[-1,-6,-1,10]^{ T }$
$\text{D.}$ $\alpha _4=[1,6,1,0]^{ T }$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2-x_3=1, \\
2 x_1+3 x_2+x_3=2, \\
4 x_1+9 x_2-x_3=4
\end{array}\right.
$$
的解是 .
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_5=0, \\ x_1+x_2-x_3=0, \\ x_3+x_4+x_5=0\end{array}\right.$ 基础解系.
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right], b =\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$. 求方程组 $A x = b$ 的全部解.
设 $A$ 是任意的 $m \times n$ 矩阵, 证明: 方程组 $A ^{ T } A x = A ^{ T } b$ 一定有解.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+a x_3=0, \\
x_1+2 x_2+x_3=0, \\
x_1-x_2+a x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程 $x_1-2 x_2+3 x_3=1$ 有公共解, 则 $a=$
设线性方程组
（I) $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+\lambda x_3=1, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda^2,\end{array}\right.$ （II） $x_1-x_2+2 x_3=-4$.
问 $\lambda$ 取何值时, 两方程组有公共解? 在有无穷多公共解的情况下, 给出公共解.
已知方程组 (I) $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2-3 x_4=1, \\ -7 x_2+3 x_3+x_4=-3\end{array}\right.$ 及方程组 (II) 的通解为 $k_1[-1,1,1,0]^{ T }+k_2[2,-1,0,1]^{ T }+[-2,-3,0,0]^{ T }$,其中 $k_1, k_2$ 为任意常数. 求方程组 (I), (II) 的公共解.