填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z^2-2 x y z=1$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
设三元函数 $f(x, y, z)=\arcsin \left(x^2+y+z^2\right)$ 。
(1) 求函数在点 $P\left(\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2}\right)$ 处函数值增加最快的方向;
(2) 求函数在 $P$ 点沿方向 $(1,-1,-1)$ 的方向导数。
设空间曲面 $y^2+2 z^2=3 x$, (1) 求曲面在点 $(1,1,-1)$ 处的切平面方程;
(2) 求曲面与 $2 x-3 y+5 z=4$ 的交线在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
求平面上由 4 条直线 $x+2 y=2, x+2 y=5$ 和 $y=2 x, y=2 x-1$ 所围闭区域的面积。
求 $\iint_D(x+2 x y) d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq a^2, x^2+y^2 \leq 2 a x\right\}$
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-3)^n+2^n}{4^n}$ 是否收敛? 如果收敛求其和。
将函数 $f(x)=x(4-x), x \in(0,4)$ 展开成周期为 4 的Fourier级数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和。
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲面 $y=x^2+z^2$ 与平面 $x+y-z=3$ 的交线到原点的最远和最近距离。
求积分 $\iiint_{\Omega}(x+y) d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 为两曲面:
$x^2+z^2=\frac{1}{4}(y+1)^2$ 和 $y=1+\sqrt{1-x^2-z^2}$ 所围成的空间区域。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n(n+1)}(x+1)^{n-1}$ 的收敛域与和函数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1) 2^n}$ 的和。
设 $f(x)$ 有一阶连续的导函数, $f(0)=0$; 且微分方程: $\left(y f(x)+y^2+2 x y\right) d x+(f(x)+2 x y) d y=0$ 是全微分方程。
(1) 求 $f(x)$, (2) 写出全微分方程的通解。
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数, 且已知 $f(0)=0$, 并满足等式 $f(x)+2 f^{\prime}(\pi+x)=\sin 3 x$, 求 $f(x)$.
设 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与曲面 $z=2-x^2-y^2$ 所围成的有界闭区域, 计算 $I=\iiint_{\Omega} x^2 z d v$.
计算 $I=\iint_{\Sigma} \frac{|y| z}{\sqrt{1+2 z}} d S$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\frac{x^2+y^2}{2}$ 被圆柱面 $x^2+y^2=2 x$ 所截得的有限部分