单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $z=\sqrt{\ln \frac{4}{x^2+y^2}}+\arcsin \frac{1}{x^2+y^2}$ 的定义域是
$\text{A.}$ $1 \leq x^2+y^2 \leq 4$;
$\text{B.}$ $1 < x^2+y^2 \leq 4$;
$\text{C.}$ $1 \leq x^2+y^2 < 4$;
$\text{D.}$ $1 < x^2+y^2 < 4$.
设 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(x+y)^2$, 则 $f(x, y)= $.
$\text{A.}$ $x^2\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 ;$
$\text{B.}$ $\frac{x}{y}(1+y)^2$;
$\text{C.}$ $y^2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2$;
$\text{D.}$ $\frac{y}{x}(1+y)^2$.
$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^2+y^2\right)^{x^2 y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0 ;
$\text{B.}$ 1 ;
$\text{C.}$ 2 ;
$\text{D.}$ $e$
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，且两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点可微的 ( ).
$\text{A.}$ 充分条件，但不是必要条件;
$\text{B.}$ 必要条件, 但不是充分条件;
$\text{C.}$ 充分必要条件;
$\text{D.}$ 既不是充分条件, 也不是必要条件.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$
则在原点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)(\quad)$.
$\text{A.}$ 偏导数不存在;
$\text{B.}$ 不可微;
$\text{C.}$ 偏导数存在且连续;
$\text{D.}$ 可微 。
设 $z=f(x, v), v=v(x, y)$ 其中 $f, v$ 具有二阶连续偏导数. 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$.
曲面 $x y z=a^3(a>0)$ 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 $V =$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} a^3$;
$\text{B.}$ $3 a^3$;
$\text{C.}$ $\frac{9}{2} a^3$;
$\text{D.}$ $6 a^3$.
二元函数 $z=3(x+y)-x^3-y^3$ 的极值点是 ( ).
$\text{A.}$ $(1,2)$;
$\text{B.}$ (1.-2);
$\text{C.}$ $(-1,2)$;
$\text{D.}$ $(-1,-1)$.
函数 $u=\sin x \sin y \sin z$ 满足 $x+y+z=\frac{\pi}{2}(x>0, y>0, z>0)$ 的条件极值是 ( ).
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 0 ;
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$;
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求函数的一阶偏导数： $z=x^{\ln y}$;
求函数的一阶偏导数 $u=f(x, x y, x y z), z=\varphi(x, y)$;
求函数的一阶偏导数：$f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2 y}{x^2+y^2} & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 & x^2+y^2=0\end{array}\right.$.
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论函数 $z=\frac{ x + y }{ x ^3+ y ^3}$ 的连续性, 并指出间断点类型.
设 $u=f(x, z)$, 而 $z(x, y)$ 是由方程 $z=x+y \varphi(z)$ 所确的函数, 求 $d u$.
设 $z=(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $x=e^x \cos v, y=e^x \sin v, z=u v$, 试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$.
设 $x$ 轴正向到方向 $l$ 的转角为 $\varphi$, 求函数 $f(x, y)=x^2-x y+y^2$ 在点 $(1,1)$ 沿方向 的方向导数，并分别确定转角 $\varphi$ ，使这导数有（1）最大值；（2）最小值;（3）等于零.
求平面 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{5}=1$ 和柱面 $x^2+y^2=1$ 的交线上与 xoy 平面距离最短的点.
在第一卦限内作椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积.