单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=$
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha =\left[a_1, a_2, a_3\right]^{ T }, \beta =\left[b_1, b_2, b_3\right]^{ T }, A = \alpha \beta ^{ T }$ ，则 $A ^n=$
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A ^9=$
已知 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A ^n$
设 $A = E -2 \xi \xi ^{ T }$ ，其中 $\xi =\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{ T }$ ，且 $\xi ^{ T } \xi =1$ ．证明：
（1） $A$ 是对称矩阵；
（2） $A ^2= E$ ；
（3） $A$ 是正交矩阵．
求矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{array}\right]$ 的逆矩阵．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & -2\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right]$ ，计算 $A ^2- B ^2,( A - B )( A + B )$ ．
设 $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，求 $A ^{10}$
设
$$
A =\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$
求 $A ^{-1}$ ．
已知 $A =\left[\begin{array}{ll} B & O \\ D & C \end{array}\right]$ ，其中 $B$ 是 $r \times r$ 可逆矩阵， $C$ 是 $s \times s$ 可逆矩阵．证明 $A$ 可逆，并求 $A ^{-1}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A , B$ 是同阶可逆方阵，且 $A ^{-1}+ B ^{-1}$ 可逆，证明 $A + B$ 是可逆矩阵，并求 $( A + B )^{-1}$ ．