谢惠民数学分析习题解答(引论)网友845096273解答

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一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 证明：当

- 2 ⩽ h ⩽ - 1

时 Bernoulli 不等式

(1 + h)^{n} ⩾ 1 + n h

仍然成立；

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2. 证明：当

h ⩽ 0

时成立不等式

(1 + h)^{n} ⩾ \frac{n (n - 1) h^{2}}{2}

，并推广之；

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3. 证明：若

a_{i} > - 1 (i = 1, 2, \dots, n)

且同号，则成立不等式

\prod_{i = 1}^{n} (1 + a_{i}) ⩾ 1 + \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

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4. 证明几何平均值－调和平均值不等式：若

a_{k} > 0, k = 1, 2, \dots, n

，则有

{(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{\frac{1}{n}} ⩾ \frac{n}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}

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5. 用向前——向后数学归纳法证明：设

0 < x_{i} ⩽ \frac{1}{2}, i = 1, 2, \dots, n

，则

\frac{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}}{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{n}} ⩽ \frac{\prod_{i = 1}^{n} (1 - x_{i})}{{[\sum_{i = 1}^{n} (1 - x_{i})]}^{n}}

（这个不等式是由在美国数学界有重大影响的华裔数学家 Fan Ky 得到的．）

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6. 设

a, c, g, t

均为非负数，

a + c + g + t = 1

，证明

a^{2} + c^{2} + g^{2} + t^{2} ⩾ \frac{1}{4}

，且其中等号成立的充分必要条件是

a = c = g = t = \frac{1}{4}

．（本题来自 DNA 序列分析．）

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