单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件．
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
证明函数 $y=f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，但在点 $x=0$ 处不可导
求曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
求曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 的通过点 $(0,-4)$ 的切线方程．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 & x \leq 1 \\ a x+b & x>1\end{array}\right.$ 为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导，$a, b$ 应取什么值？
$y=e^x(\sin x+\cos x)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $x=\sin y, y \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 为直接函数，则 $y=\arcsin x$ 是它的反函数，请计算证明 $y^{\prime}=(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $y=\ln (\sec x+\tan x)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $y=\ln (\csc x-\cot x)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ．
求导 $y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ ．
求导$y=\arcsin \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ ．
求导 $y=\ln \frac{1-x}{1+x}$ ．