单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
已知函数 $\phi(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处连续且 $\varphi(0)=1$ ，若 $f(x)=$ $\phi(x) \varphi(x)$ 与 $g(x)=\frac{\phi(x)}{\varphi(x)}$ 在 $x=0$ 处均可导，且 $f^{\prime}(0)=3, g^{\prime}(0)=1$ ，则 () ．
$\text{A.}$ $\phi(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ $\phi(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
$\text{C.}$ $\phi^{\prime}(0)=3$
$\text{D.}$ $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处不可导
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $f(0,0)=0$ ， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$ ，则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续，偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \cot x, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 的四阶麦克劳林公式为 $a+b x^2+c x^4+o\left(x^4\right)$ ，则 $a+b+$ $c=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{29}{45}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{15}$
已知连续函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $\int_0^x f(u) g(u) d u=f(\eta) \int_0^x g(u) d u$ ，其中 $\eta$ 介于 0 和 $x$ 之间，若 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，且 $g(x)>0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\eta}{x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解，其中常数 $a < 0, b>0$ ，且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 ，则该行列式的最大值为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
下列说法中：
（1）已知非零列向量 $\alpha$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解，其中 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则非齐次线性方程组 $A ^* x = \alpha$ 有解的充要条件是 $r( A )=n-1$ ；
（2）已知 $m \times n$ 矩阵 $A$ 行满秩， $B$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵，有 $A B = O , A \alpha = 0$ 成立，则存在唯一的列向量 $\gamma$ ，有 $B \gamma = \alpha$ 成立；
（3）已知齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 的基础解系分别为 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r r s}$ ，其中 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，两个方程组无非零公共解，则任一 $n$ 维列向量 $\eta$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ ， $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r-s}$ 唯一线性表示；
（4）若齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，则存在 $n$ 阶矩阵 $C _1, C _2$ 使得 $A = C _1 B , B = C _2 A$ ．正确的个数为（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ ，其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ ，则二次型的正惯性指数为（ $\quad$ 。
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2\left(x^2-y^2\right)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的极大值为
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$ ，则不定积分 $\int x \tan y d x=$
已知可导函数 $y=f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上单调递减，其中 $f(1)=\sqrt{3}, f(\sqrt{3})=1$ ，记 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} r^2(\theta) d \theta-2 \int_1^{\sqrt{3}} f(x) d x=$
已知连续正值函数 $f(x)=-\frac{24}{\pi} x \sqrt{x(1-x)}+\int_x^1 f(y) f(y-x) d y$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x==$
已知函数 $f(u)$ 可微，且满足 $f\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$ ，则 $y^2 z_y^{\prime}-x^2 z_x^{\prime}=$
已知非齐次线性方程组 $A x = b$ 的通解为 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$（ $k_1, k_2$ 为任意常数），其中
试题 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$ 为 4 阶方阵，则方程组 $\left( \alpha _4, 2 \alpha _1, 3 \alpha _2, 4 \alpha _3\right) x = b$ 的通解为
求函数 $y(x)=\frac{x \int_0^{\frac{1}{x}}\left( e ^t+\tan t\right)^{\frac{1}{\ln (1+t)} d t}}{\sin \frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程．
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数，且在开区间内一点 $c \in(a, b)(c>0)$ 处与直线 $y=$ $k$ 相切．证明：$\exists \eta \in(a, b)$ 且 $\eta \neq c$ ，使得 $f^{\prime}(\eta)+2 \eta[f(\eta)-f(b)]=0$ 。
已知函数 $y=f(x)$ 二阶可导，其图形为凸的，且与直线 $y=1$ 相切于点 $P(1,1)$ ，曲线上任意两点 $A, B$ 之间的弧长 $\overparen{A B}$ 等于曲线在两点处切线在 $y$ 轴上截下的线段长，求函数 $f(x)$ 的表达式。