单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x, y, z)=\sqrt[z]{\frac{x}{y}}$ ，则 $d f(1,1,1)=$
设 $u=x^y y^z z^x$ ，求 $d u$ ．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明下列重极限不存在．（1） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^2+y^2}$ ；
（2） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^2}{x^2+y^4}$ ．
求 $\lim _{\substack{y \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 0}} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ ．
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2+y^2}{|x|+|y|}$ ；
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{1+x^2 y^2}-1}{x^2+y^2}$ ；
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^2 \sin (x y)}{x^2+y^4}$ ．
判断函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}},(x, y) \neq(0,0) \\ a,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 的连续性．
设 $f(x, y)=x+2 y+(y-1) \arcsin \frac{x}{1+x y}$ ，求 $f_x(0,1), f_y(0,1)$ ．
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 确定，求在点 $P(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ ．
设 $f(x, y)=|x-y| \phi(x, y)$ ，其中 $\phi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的邻域内连续，问
（1）$\phi(x, y)$ 应满足什么条件才能使 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 都存在？
（2）在上述条件下 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否可微？
设 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 存在，$f_y(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，证明 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微．