解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $\frac{y^2}{y^{\prime}}=8$ 的满足初始条件 $y(0)=2$ 的解．
解微分方程 $y^2+x^2 y^{\prime}=x y y^{\prime}$ ．
解微分方程 $x \frac{d y}{d x}=y \ln \frac{y}{x}$ ，其中 $y(1)= e ^2$ ．
解微分方程：
（1）$y^{\prime}=\frac{1+x}{x} y$ ；
（2）$y^{\prime}=\frac{y}{1+x^2}$ ，其中 $y(0)=\pi$
解微分方程：
（1）$y^{\prime}+\tan x \cdot y= e ^x \cdot \cos x$ ；
（2）$\frac{ d y}{d x}-\frac{2 y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}$ ．
求解微分方程：$\frac{ d y}{d x}=\frac{y}{x+2 y^4}$ ．
求 $\frac{ d y}{d x}+\frac{y}{x}=y^2 \ln x$ 的通解．（数一）
求解微分方程：$\left(2 x \sin y+3 x^2 y\right) d x+\left(x^3+x^2 \cos y+y^2\right) d y=0$（数一）．
求差分方程 $y_{x+1}-3 y_x=7 \cdot 2^x$ 通解．（数三）
求下列微分方程的通解．
（1）$y y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^2=0$ ；
（2）$\left(3 x^2+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ ．
求下列微分方程的通解或特解．
（1）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0$
（2）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ 满足 $y(0)=4, y^{\prime}(0)=-2$
（3）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0$
求 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ 的通解．
求解微分方程：$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 e ^x$ ，其中 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ ．
求微分方程的通解：$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=x e ^{-x}$ ．
求微分方程的通解：$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=-2 e ^x$ ．
求微分方程的通解：$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 \cos 2 x$ ．
求微分方程的通解：$y^{\prime \prime}+4 y=2 \sin 2 x$
设函数 $f(u)$ 具有一阶连续导数，$z=f\left( e ^x \cos y\right)$ 满足 $\cos y \frac{\partial z}{\partial x}-\sin y \frac{\partial z}{\partial y}=\left(4 z+ e ^x \cos y\right) e ^x$ ，若 $f(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式．
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，$z=f\left( e ^x \cos y\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\left(4 z+ e ^x \cos y\right) e ^{2 x}$ ，若 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数，$f(0)=1$ ，满足 $\iint_D f^{\prime}(x+y) d x d y=\iint_D f(t) d x d y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant t-x, 0 \leqslant x \leqslant t\},(0 < t \leqslant 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式．
求微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=x^3$ 的通解．（数一）