单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 $A, B$（如图），要测量 $A, B$ 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 $AC$ ，测得 $B C=50 \mathrm{~m}, \angle A B C=105^{\circ}, \angle B C A=45^{\circ}$ ．就可以计算出 $A, B$ 两点的距离为
$\text{A.}$ $20 \sqrt{2} m$
$\text{B.}$ $30 \sqrt{2} \mathrm{~m}$
$\text{C.}$ $40 \sqrt{2} \mathrm{~m}$
$\text{D.}$ $50 \sqrt{2} m$
已知 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$ ，则角 $C$ 的大小为
$\text{A.}$ $135^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $120^{\circ}$
一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{3}{5}$ ，且最长的边为 $\sqrt{17} \mathrm{~m}$ ，则最短的边为（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3} \mathrm{~m}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2} \mathrm{~m}$
$\text{D.}$ 5 m
如图，有一壁画，最高点 $A$ 处离地面 12 m ，最低点 $B$ 处离地面 7 m ．若从离地高 4 m 的 $C$ 处观赏它，若要视角 $\theta$ 最大，则离墙的距离为
$\text{A.}$ $\sqrt{6} m$
$\text{B.}$ 3 m
$\text{C.}$ 4 m
$\text{D.}$ $2 \sqrt{6} m$
在 $\triangle A B C$ 中，$A C=2 \sqrt{2}, B C=4$ ，则角 $B$ 的最大值为 ()
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
如图，$\triangle A B C$ 中，角 $C$ 的平分线 $C D$ 交边 $A B$ 于点 $D, \angle A=\frac{2 \pi}{3}, A C=2 \sqrt{3}, C D=3 \sqrt{2}$ ，则 $B C=$
$\text{A.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 6
在锐角三角形 $A B C$ 中，已知 $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $\sqrt{3} b=2 a \sin B, a=6$ ，则 $b+c$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[6,12]$
$\text{B.}$ $(6,12]$
$\text{C.}$ $(6 \sqrt{3}, 12]$
$\text{D.}$ $[6 \sqrt{3}, 12]$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在 $\triangle A B C$ 中，$a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边，且 $B$ 为锐角，若 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{5 c}{2 b}, \sin B=\frac{\sqrt{7}}{4}, S_{\triangle A B C}=\frac{5 \sqrt{7}}{4}$ ，则 $b$ 的值为 $\qquad$ ．
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\triangle A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ，若 $D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D=1$ ．
（1）若 $\angle A D C=\frac{\pi}{3}$ ，求 $\tan B$ ；
（2）若 $b^{2}+c^{2}=8$ ，求 $b, c$ ．
如图，有一段河流，河的一侧是以 $O$ 为圆心，半径为 $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ 的扇形区域 $O C D$ ，河的另一侧是一段笔直的河岸 $l$ ，岸边有一烟囱 $A B$（不计 $B$ 离河岸的距离），且 $O B$ 的连线恰好与河岸 $l$ 垂直，设 $O B$ 与圆弧的交点为 $E$ ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点 $C$ ，点 $O$ 和点 $E$ 处测得烟囱 $A B$ 的仰角分别为 $45^{\circ}$ ， $30^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$ 。
（1）求烟囱 $A B$ 的高度；
（2）如果要在 $C E$ 间修一条直路，求 $C E$ 的长．
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(a-c)(\sin A+\sin C)-\sin B \cdot(a-b)=0$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）若 $S_{\triangle A B C}=2 \sqrt{3}, D$ 为边 $A B$ 的中点，求 $C D$ 的最小值．
已知在四边形 $A B C D$ 中，$A B=7, B C=13, C D=A D$ ，且 $\cos B=\frac{1}{7}, \angle B A D=2 \angle B C D$ ．
（1）求 $\angle B C A$ ；
（2）求 $A D$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $\sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin B \sin C=\sin ^{2} A$ ．
（1）求角 $A$ ；
（2）如图，若 $b=c$ ，点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 外一点，$D A=3, D C=\sqrt{3}$ ，设 $\angle A D C=\theta$ ，求平面四边形 $A B C D$ 面积的最大值及相应的 $\theta$ 值．
某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高 $A B$ ，先在旗杆底端的正西方点 $C$ 处测得杆顶的仰角为 $45^{\circ}$ ，然后从点 $C$ 处沿南偏东 $30^{\circ}$ 方向前进 20 m 到达点 $D$ 处，在 $D$ 处测得杆顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，则旗杆的高为（ ）
A． 20 m
B． 10 m
C． $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
D．$\frac{10 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~m}$
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $\sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin B \sin C=\sin ^{2} A$ ．
（1）求角 $A$ ；
（2）如图，若 $b=c$ ，点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 外一点，$D A=3, D C=\sqrt{3}$ ，设 $\angle A D C=\theta$ ，求平面四边形 $A B C D$ 面积的最大值及相应的 $\theta$ 值．