单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设二维随机变量 $\left(X_1, Y_1\right)$ 和 $\left(X_2, Y_2\right)$ 的概率密度分别为 $f_1(x, y)$ 与 $f_2(x, y)$ ，令
$$
f(x, y)=a f_1(x, y)+b f_2(x, y),
$$
若 $f(x, y)$ 是某二维连续型随机变量的概率密度，则 $a, b$ 满足条件（）．
$\text{A.}$ $a+b=1$
$\text{B.}$ $a>0$ 且 $b>0$
$\text{C.}$ $0 \leqslant a \leqslant 1,0 \leqslant b \leqslant 1$
$\text{D.}$ $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ 且 $a+b=1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $P\{X+Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X-Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P(\max \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $P\{\min \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
$\text{A.}$ $F^2(z)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(z)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}1-e^{-\lambda_1 x}-e^{-\lambda_2 y}+e^{-\lambda_1 x-\lambda_2 y-\lambda_2 \max [x, y]}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_{12}>0$ ，则 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数分别为 $\qquad$ ．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}k, & 0 < x^2 < y < x < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（1）求常数 $k$ ；
（2）求 $P\left\{X>\frac{1}{2}\right\}$ 和 $P\left\{Y < \frac{1}{2}\right\}$ ．
袋中有编号为 $1,1,2,3$ 的四个球，现从中无放回地取两次，每次任取一个，设 $X_1, X_2$ 分别为第一次、第二次取到的球的号码，求：
（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的分布律，并判断 $X_1$ 与 $X_2$ 的独立性；
（2）在 $X_2=2$ 的条件下，$X_1$ 的条件分布；
（3）随机变量 $Y=X_1 X_2$ 的分布．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且都在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布，求 $Z=\min \{X, Y\}$ 的概率密度．
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$ ．在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, i)(i=1,2)$ ．求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 和概率密度 $f_Y(y)$ ．