解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^2}{x^2+y^4},(x, y) \neq(0,0) \\ 0, \quad(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 极限是否存在．
设函数 $f(x, y)=e^y \sin \pi y+(x-1) \arctan \sqrt{\frac{y}{x}}$ 在 $(1,1)$ 处的偏导数．
设 $f(x, y)=x y+x^2+y^3$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ ，并求 $f_x{ }^{\prime}(0,1), f_y{ }^{\prime}(2,0)$ ．
求下列函数的 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x .}$ ．
（1）$z=e^x \sin \frac{y}{x}$ ；
（2）$z=x^4+y^4-4 x^2 y^3$ ；
（3）$z=\arctan \frac{x}{1-x y}$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性、可偏导性及可微性。
设 $z=y f\left(x^2-2 y^2\right)$ ，其中 $f(u)$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $z=f x^2-y^2, e^{x y}$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+y^2-\sin (x y)=0$ 所确定，试求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+3 z^2=21, \\ x+y+z=0,\end{array}\right.$ 求 $\frac{d z}{d x}, \frac{d y}{d x}$ ．
求函数 $z=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在有界闭域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 的最大值与最小值．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $l: 2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．