单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $x_n \leq y_n \leq z_n(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(z_n-x_n\right)=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不一定等于零
$\text{C.}$ 不一定存在
$\text{D.}$ 一定不存在
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\cos x^2}{x^2}, x>0, \\ g(x) \sin x^2, x \leq 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 为有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限存在但不连续
$\text{B.}$ 连续但不可导
$\text{C.}$ 可导但导数不为零
$\text{D.}$ 导数为零
设曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x), x \in(-\infty,+\infty)$ ，下列命题中，不一定正确的个数是 D ．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调增加，则 $f^{\prime}(0)>0$ ．
（2）若 $f^{\prime}(0)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调增加．
（3）若 $(0, f(0))$ 是曲线 $C$ 的拐点，则 $f^{\prime \prime}(0)=0$ ．
（4）若 $f^{\prime \prime}(0)=0$ ，则 $(0, f(0))$ 是曲线 $C$ 的拐点．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x), g(x)$ 分别是 $x$ 的 $n$ 阶和 $m$ 阶的无穷小，在下列命题中，正确的个数是
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x$ 的 $m+n$ 阶无穷小．
（2）若 $n>m$ ，则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leq m$ ，则 $f(x)-g(x)$ 是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{\cos 2 x}}{\sin \sin x^2}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(1+x^2\right),-\infty < x \leq 1, \\ A \mathrm{e}^{\arctan x}, \quad 1 < x < +\infty,\end{array} f(x)\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $A=$
曲线 $y=\frac{x}{x-1}+\ln \left(2+3 \mathrm{e}^x\right)$ 的斜渐近线方程
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=$
函数 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 的单调增加区间为
设 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t-t, \\ y=\ln \left(1+t^2\right)\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arctan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}-\cos x}{x^4}$ ．
设 $f(x)=\mathrm{e}^x \sin x$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+y}+x y=x^2+\cos 2 x$ 确定，求 $y^{\prime \prime}(0)$ ．
求函数 $y=\frac{\ln x}{x}$ 的单调区间及其图形的凹或凸的区间．
证明：当 $x>0$ 时，有 $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} < \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < x$ ．
讨论函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2 n}+2^n\right)}{n}(x>0)$ 的连续性．
当 $n \rightarrow \infty$ 时，若 $\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \sim a n^{-b}(b>0)$ ，求 $a, b$ 的值．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1, f(1)=\frac{1}{2}$ ，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至多有一个零点，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=0$ ．