单选题 （共 19 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$ ．
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ ．
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$ ．
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ ．
设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)!$ ．
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)!$ ．
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n!\quad$ ．
$\text{D.}$ $(-1)^n n!$ ．
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$ ．
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$ ．
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ ．
$\text{D.}$ 0 ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ 。
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x=0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(h^2\right)}{h^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在．
$\text{B.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在．
$\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在．
$\text{D.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在．
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \\ f(0), & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f^{\prime}(0) \neq 0, f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点．
$\text{B.}$ 第一类间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点或间断点不能由此确定．
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b) < 0$ ，则下列结论中错误的是
$\text{A.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(a)$ ．
$\text{B.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(b)$ ．
$\text{C.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ．
$\text{D.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)=0$ ．
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减小．
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$ ．
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$ ．
设 $f(x)$ 为不恒等于零的奇函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$
$\text{A.}$ 在 $x=0$ 处左极限不存在．
$\text{B.}$ 有跳跃间断点 $x=0$ ．
$\text{C.}$ 在 $x=0$ 处右极限不存在．
$\text{D.}$ 有可去间断点 $x=0$ ．
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在．
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^h\right)$ 存在．
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在．
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在．
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分条件是
$\text{A.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a)=0$ ．
$\text{B.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $f(a)>0$ 且 $f^{\prime}(a)>0$ ．
$\text{D.}$ $f(a) < 0$ 且 $f^{\prime}(a) < 0$ ．
函数 $f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|$ 不可导点的个数是
$\text{A.}$ 3．
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 1 ．
$\text{D.}$ 0 ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta, \delta)$ 内有定义，若当 $x \in(-\delta, \delta)$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant x^2$ ，则 $x=0$ 必是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 间断点．
$\text{B.}$ 连续而不可导的点．
$\text{C.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0)=0$ ．
$\text{D.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ．
设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件。
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left|x^2-1\right|}{x-1}, & x \neq 1, \\ 2, & x=1,\end{array}\right.$ 则在点 $x=1$ 处函数 $f(x)$
$\text{A.}$ 不连续．
$\text{B.}$ 连续，但不可导．
$\text{C.}$ 可导，但导数不连续．
$\text{D.}$ 可导，且导数连续．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在。
$\text{B.}$ 极限存在但不连续．
$\text{C.}$ 连续但不可导．
$\text{D.}$ 可导．
函数 $f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|$ 不可导点的个数是 ．
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续，求 $f^{\prime}(a)$ ．
设 $y=(\cos x)^{x^2}$ ，求 $y^{\prime}$ ．