单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\sin a=\frac{4}{5}$, 并且 $a$ 是第二象限的角, 那么 $\operatorname{tg} a$ 的值等于
$\text{A.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
焦点在 $(-1,0)$, 顶点在 $(1,0)$ 的抛物线方程是
$\text{A.}$ $y^2=8(x+1)$
$\text{B.}$ $y^2=-8(x+1)$
$\text{C.}$ $y^2=8(x-1)$
$\text{D.}$ $y^2=-8(x-1)$
函数 $y=\cos ^4 x-\sin ^4 x$ 的最小正周期是
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $2 \pi$
$\text{D.}$ $4 \pi$
如果把两条异面直线看成 “一对”, 那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中, 异面直线共有
$\text{A.}$ 12对
$\text{B.}$ 24对
$\text{C.}$ 36对
$\text{D.}$ 48对
函数 $y=\sin \left(2 x +\frac{5 \pi}{2}\right)$ 的图像的一条对称轴的方程是
$\text{A.}$ $x=-\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $x=-\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $x=\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $x=\frac{5 \pi}{4}$
如果三棱锥 $S-A B C$ 的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点 $S$ 在底面的射影 O 在 $\triangle A B C$ 内, 那么 O 是 $\triangle A B C$ 的
$\text{A.}$ 垂心
$\text{B.}$ 重心
$\text{C.}$ 外心
$\text{D.}$ 内心
已知 $\left\{a_3\right\}$ 是等比数列, 且 $a_3>0, a_2 a_4+2 a_3 a_5+a_4 a_6=25$, 那么 $a_3+a_6$ 的值等于
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 15
$\text{D.}$ 20
如果圆锥曲线的极坐标方程为 $\rho=\frac{16}{5-3 \cos \theta}$, 那么它的焦点的极坐标为
$\text{A.}$ $(0,0),(6, \pi)$
$\text{B.}$ $(-3,0),(3,0)$
$\text{C.}$ $(0,0),(3,0)$
$\text{D.}$ $(0,0),(6,0)$
从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台, 其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有
$\text{A.}$ 140种
$\text{B.}$ 84 种
$\text{C.}$ 70 种
$\text{D.}$ 35 种
如果 $A C < 0$ 且 $B \subset < 0$, 那么直线 $A x+B y+C=0$ 不通过
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
设甲、乙、丙是三个命题. 如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件, 那么
$\text{A.}$ 丙是甲的充分条件, 但不是甲的必要条件
$\text{B.}$ 丙是甲的必要条件, 但不是甲的充分条件
$\text{C.}$ 丙是甲的充要条件
$\text{D.}$ 丙不是甲的充分条件, 也不是甲的必要条件
$\left.\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\right] \cdots\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\right]$ 的值等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
如果奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,7]$ 上是增函数且最小值为 5 , 那么 $f(x)$ 在区间 $[-7$, $-3]$ 上是
$\text{A.}$ 增函数且最小值为一 5
$\text{B.}$ 增函数且最大值为 -5
$\text{C.}$ 减函数且最小值为 -5
$\text{D.}$ 减函数且最大值为 -5
圆 $x^2+2 x+y^2+4 y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
设全集为R, $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, N \neq\{x \mid f(x) \neq 0\}, N=\{x \mid g(x) \neq 0\}$, 那么集合 $\{x \mid f(x) g(x)=0\}$ 等于
$\text{A.}$ $\bar{M} \cap \bar{N}$
$\text{B.}$ $\bar{M} \mathrm{Y} N$
$\text{C.}$ $M \mathrm{Y} \bar{N}$
$\text{D.}$ $\bar{M} \mathrm{Y} \bar{N}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\operatorname{arctg} \frac{1}{3}+\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$ 的值是
不等式 $6^{x^2+x-2} < 1$ 的解集是
已知正三棱台上底面边长为 2 , 下底面边长为 4 , 且侧棱与底面所成的角是 $45^{\circ}$,那么这个正三棱台的体积等于
$(a x+1)^7$ 的展开式中, $x^2$ 的系数是 $x^2$ 的系数与 $x^2$ 的系数的等差中项. 若实数 $a>1$, 那么 $a=$
在球面上有四个点 $P 、 A 、 B 、 C$, 如果 $P A 、 P B 、 P C$ 两两互相垂直, 且 $P A=P B=P C$ $=a$. 那么这个球面的面积是
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a \geqslant 0$, 在复数集 $C$ 中解方程 $z^2+2|z|=a$.
求函数 $y=\sin ^2 x+2 \sin x \cos x+3 \cos ^2 x$ 的最小值，并写出使函数 $y$ 取最小值的 $x$ 的集合.
已知复数 $z=1+i$, 求复数 $\frac{z^2-3 z+6}{z+1}$ 的模和辐角的主值.
已知 $A B C D$ 是边长为 4 的正方形, $E 、 \mathrm{~F}$ 分别是 $A B 、 A D$ 的中点, $G C$ 垂直于 $A B C D$ 所在的平面, 且 $G C=2$. 求点 $B$ 到平面 $E F G$ 的距离.
根据函数单调性的定义, 证明函数 $f(x)=-x^3+1$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是减函数.
已知 $n$ 为自然数, 实数 $a>1$, 解关于 $x$ 的不等式
$$
\log _2 x-\log _{a^2} x+12 \log _{a^3} x+\cdots+n(n-2)^{n-1} \log _{a^n} x>\frac{1-(-2)^n}{3} \log _a\left(x^2-a\right)
$$
双曲线的中心在坐标原点 $O$, 焦点在 $x$ 轴上, 过双曲线右焦点且斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的直线交双曲线于 $P 、 Q$ 两点. 若 $O P \perp O Q,|P Q|=4$, 求双曲线的方程.
设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $b_n=\left(\frac{1}{2}\right)_n^a$. 已知 $b_1+b_2+b_3=\frac{21}{8}, b_1 b_2 b_3=\frac{1}{8}$. 求等差数列的通项 $a_n$.
设 $a>0, a \neq 1$, 解关于 $x$ 的不等式 $a^{x^4-2 x^2}>\left(\frac{1}{a}\right)^{a^2}$.
已知椭圆的中心在坐标原点 $O$, 焦点在坐标轴上, 直线 $y=x+1$ 与该椭圆相交于 $P$ 和 $Q$,且 $O P \perp O Q,|P Q|=\frac{\sqrt{10}}{2}$. 求椭圆的方程.