解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
下列陈述中, 哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由；如果是错的，试给出一个反例.
(1) 如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续,那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续;
(2) 如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续,那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续.
设
$$
f(x)= \begin{cases}x, & x \in \mathbf{Q} \\ 0, & x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}\end{cases}
$$
证明: (1) $f(x)$ 在 $x=0$ 连续;
(2) $f(x)$ 在非零的 $x$ 处都不连续.
设 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$, 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 证明: $f(x)$在 $\mathbf{R}$ 上连续。
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续,证明函数
$$
\varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\}
$$
在点 $x_0$ 也连续.