单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是可导函数，且满足 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1+\Delta x)}{2 \Delta x}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -4
下列求导正确的是（）
$\text{A.}$ $\left(\sin x-\sin \frac{\pi}{6}\right)^{\prime}=\cos x-\sin \frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\left[(2 x+1)^2\right]^{\prime}=2(2 x+1)$
$\text{C.}$ $\left(\log _2 x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 2}$
$\text{D.}$ $\left(2^x+x^2\right)^{\prime}=2^x+2 x$
设函数 $f(x)=\ln (x+a)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 平行，则 $a=(）$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
设 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数, 若 $f(x)=(x+1) \mathrm{e}^x-f^{\prime}(0) x$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=-x+1$
$\text{B.}$ $y=-2 x+1$
$\text{C.}$ $y=2 x+1$
$\text{D.}$ $y=x+1$
过点 $(3,0)$ 作曲线 $f(x)=x \mathrm{e}^x$ 的两条切线, 切点分别为 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right),\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$, 则 $x_1+x_2=(\quad)$
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
若过第一象限的点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\ln x$ 的两条切线, 则
$\text{A.}$ $\ln b < a$
$\text{B.}$ $\ln b>a$
$\text{C.}$ $b < \ln a$
$\text{D.}$ $b>\ln a$
若直线 $y=x+b$ 与曲线 $y=e^x-a x$ 相切，则 $b$ 的最大值为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ e
已知函数 $f(x)=a \ln x, g(x)=\sqrt{x}$, 若总存在两条不同的直线与曲线 $y=f(x), y=g(x)$ 均相切, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\infty, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\mathrm{e}^2}{4},+\infty\right)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列函数在 $x=1$ 处的切线倾斜角是锐角的是（）
$\text{A.}$ $f(x)=\frac{1}{x}$
$\text{B.}$ $f(x)=\ln (2 x+1)$
$\text{C.}$ $f(x)=x^3-x^2$
$\text{D.}$ $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$
已知过点 $A(a, 0)$ 作曲线 $C: y=\frac{x}{e^x}$ 的切线有且仅有两条，则实数 $a$ 的值可以是（）
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 6
已知函数 $f(x)=-x^3+2 x^2-3 x$, 若过点 $P(-2, m)(m \in \mathbf{Z})$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线, 则 $m$ 的值可以为 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 21
$\text{D.}$ 22
若存在直线与曲线 $f(x)=x^3-x, g(x)=x^2-a^2+a$ 都相切, 则 $a$ 的值可以是 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{C.}$ $\log _2 \sqrt{7}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{\pi}+\frac{\pi}{\sqrt{\mathrm{e}}}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $y=x \ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的切线与曲线 $y=\frac{4}{x}$ 在点 $P$ 处的切线垂直, 则点 $P$ 的横坐标为
已知直线 $l$ 分别与曲线 $f(x)=\ln x, g(x)=\mathrm{e}^x$ 相切于点 $\left(x_1, \ln x_1\right),\left(x_2, \mathrm{e}^{x_2}\right)$, 则 $\frac{1}{x_1}-\frac{2}{x_2-1}$ 的值为
若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在不同的两点, 使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于 0 且斜率之和等于常数 e , 则称该函数为 " e 函数", 下列四个函数中, 其中为 " e 函数" 的是 $\qquad$ 。
(1) $y=\frac{\ln x}{x}$ ；
(2) $y=\left\{\begin{array}{l}-x, x \leq 0 \\ (\mathrm{e}+1+x) x, x>0\end{array}\right.$;
(3) $y=x^2+2 x$;
(4) $y=\left|\frac{1}{x}\right|$
设函数 $f(x), f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R , 且函数 $f(2 x-1), f^{\prime}(x-2)$ 均为偶函数. 若当 $x \in[1,2]$ 时, $f^{\prime}(x)=a x^3+1$, 则 $f^{\prime}(2022)$ 的值为