单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶可逆方阵, 则下列等式成立的是
$\text{A.}$ $\left|( A B )^{-1}\right|=| A |^{-1}| B |^{-1}$;
$\text{B.}$ $|- A B |=| A B |$;
$\text{C.}$ $\left|A^2-B^2\right|=|A+B \| A-B|$;
$\text{D.}$ $|2 A|=2|A|$.
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩 $\left( A ^{ T }\right)$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设 $A, B$ 是三阶可逆矩阵, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 若 $|A|=2$, 则
$$
\left(A^* B^{-1} A\right)^{-1}=
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} A^{-1} B A$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{8} A^{-1} B A$.
$\text{C.}$ $2 A^{-1} B A$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} A B A^{-1}$.
设两个向量组 $a _1, a _2, \cdots, a _{ s }$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 均线性相关，则
$\text{A.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1 a _1+\lambda_2 a _2+\cdots+\lambda_s a _s=0$ 和 $\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots \lambda_s \beta_s=0$
$\text{B.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{ s }$ 使 $\lambda_1\left( a _1+ \beta _1\right)+\lambda_2\left( a _2+ \beta _2\right)+\cdots+\lambda_{ s }\left( a _{ s }+ \beta _{ s }\right)=0$
$\text{C.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1\left( a _1-\beta_1\right)+\lambda_2\left( a _2-\beta_2\right)+\cdots+\lambda_s\left( a _s-\beta_s\right)=0$
$\text{D.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 和不全为 0 的数 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_s$ 使 $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+$ $\lambda_s a _{ s }=0$ 和 $\mu_1 \beta _1+\mu_2 \beta _2+\cdots+\mu_{ s } \beta _{ s }=0$
设 $A$ 是 3 阶矩阵，将 $A$ 的第1 列与第 2 列互换得到 $B$ ，再将 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得到 $C$ ，则满足 $A Q= C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为（ ）
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $A$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$.则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ -2 .
$\text{D.}$ -3 .
已知 $\left|\begin{array}{cccc}x & -m & -1 & 0 \\ 0 & -x & m & 1 \\ -1 & 0 & x & -m \\ m & 1 & 0 & -x\end{array}\right|=a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x^1+a_0$,则 $a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=$
$\text{A.}$ $-m^4+4 m^2$.
$\text{B.}$ $m^4+4 m^2$.
$\text{C.}$ $-m^4+2 m^2$.
$\text{D.}$ $-4 m^4-4 m^2$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right)$ ．则 $A +2 B =$
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A ^9=$
设 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right], B=(E-A)(E+A)^{-1}$, 则 $(B+E)^{-1}=$
已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $-1,2,3$ ，则 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
设向量 $(2,-3,5)$ 与向量 $(-4,6, a)$ 线性相关，则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式
$$
D=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 3 \\
3 & -2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 4 & -2 & 3
\end{array}\right|
$$
已知 $A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求与 $A$ 可交换的矩阵．
已知平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $\overrightarrow{A C}= \alpha , \overrightarrow{B D}= \beta$ ，求 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}$ ．
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$ ．求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$ ．
$\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
p & q & r & s \\
t & u & v & w \\
l a+m p & l b+m q & l c+m r & l d+m s
\end{array}\right|$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是欧几里得空间 耶 $^3$ 的一组基，已知内积关于基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 的度量矩阵
$$
G=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3
\end{array}\right)
$$
试将 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 经施密特正交化化为标准正交基．