单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 （ ） 个。
①. 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
②. ①的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
③. ①的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
④. ①的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是来自 $[0,3]$ 上均匀分布总体的简单随机样本, 则 $\sum_{i=1}^1 X_i$ 与 $\sum_{j=3}^6 X_j$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 为独立同分布随机变量序列, 且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$ 的指数分布, 记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{\lambda n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$. $\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
设随机变量 $X$ 满足 $E(X)=E\left(X^3\right)=0, E\left(X^2\right)=1, D\left(X^2\right)=2$, 则根据切比雪夫不等式, $P\left\{\left|X^2+2 X-1\right| \geqslant 5\right\} \leqslant(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{25}$.
$\text{B.}$ $\frac{4}{25}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $\frac{6}{25}$.
设 $X_1, \cdots, X_n(n>1)$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则错误的是
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{l=1}^n X_I^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$
设 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且 $E\left(X_i\right)=1, D\left(X_i\right)=1 \quad(i=1,2,3)$, 则对于任意给定的 $\varepsilon>0$ 由切比雪夫不等式可得
$\text{A.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{B.}$ $P\left(\left|\frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{C.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{D.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-3 \varepsilon^{-2}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 是相互独立的随机变量序列，$X_n$ 服从参数为 $n(n \geqslant 1)$ 的指数分布，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是
$\text{A.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$
$\text{B.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$
$\text{C.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$
$\text{D.}$ $X_1, 2^2 X_2, \cdots, n^2 X_n, \cdots$