单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2$ 是来自总体 $X$ 的样本, 作为 $E X$ 的无偏估计中, 最有效的是
$\text{A.}$ $\frac{3}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2$,
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} X_1+\frac{3}{4} X_2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{2}{3} X_2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 为已知常数,记 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则下列统计量中与 $\bar{X}$ 不独立的是
$\text{A.}$ 样本标准差
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且 $X_1$ 的 4 阶矩存在, 记 $E\left(X_1^k\right)=\mu_k(k=1,2,3,4)$,则由切比雪夫不等式, 对任意由 $\varepsilon>0$ 有 $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right| \geq \varepsilon\right\} \leq $.
$\text{A.}$ $ \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设 $X \sim N(0,1)$, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y \sim N(x, 1)$, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{x y}$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
设总体 $X \sim N(0,1)$, 样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 为来自该总体的简单随机样本, $\bar{X}$ 与 $S$ 分别为样本均值和样本标准差, 则有
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{n \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
设 $(X, Y) \sim N(0,1,1,1,0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则下面错误的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 不相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 不独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性相关
设随机变量 $X \sim U[-1,1]$, 数学期望 $E ( Y )=\frac{1}{2}$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $E(X Y+2 Y)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
设 $X$ 是随机变量, $x_0$ 为任意实数, $E(X)$ 是 $X$ 的数学期望, 则正确的选项是
$\text{A.}$ $E\left(X-x_0\right)^2=E[X-E(X)]^2$
$\text{B.}$ $E\left(X-x_0\right)^2 \geq E[X-E(X)]^2$
$\text{C.}$ $E\left(X-x_0\right)^2 < E[X-E(X)]^2$
$\text{D.}$ $E\left(X-x_0\right)^2=0$
已知随机变量 X 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{6}(k=1,2, \cdots, 6)$. 设 $f(x)=x^2+a x+12$, 若 $E(f(X))=\frac{8}{3}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ -4 .
$\text{B.}$ -5 .
$\text{C.}$ -6 .
$\text{D.}$ -7 .
设随机变量 $X \sim N\left(2,3^2\right)$, 则 $D(2 X+3)=$
$\text{A.}$ 9.
$\text{B.}$ 18.
$\text{C.}$ 21 .
$\text{D.}$ 36.
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)
$$
则 $E X$（ ）．
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 $\pi$
$\text{D.}$ 不存在
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $U=X+Y, V=X-Y$ 不相关的充分必要条件为（ ）。
$\text{A.}$ $E X=E Y$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-(E X)^2=E\left(Y^2\right)-(E Y)^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+(E X)^2=E\left(Y^2\right)+(E Y)^2$
已知连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的概率密度，且
$$
X \sim f(x)= \begin{cases}2 x \theta^2, & 0 < x < \frac{1}{\theta}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 的期望值均为 $\mu$ ，方差均为 $\sigma^2, X, Y$ 的相关系数为 $\rho_{X Y}=0$ ，记 $Z_1=2 X+Y, Z_2=2 X-Y$ ，则 $Z_1, Z_2$ 的相关系数为（ ）．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{\sqrt{15}}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{\sqrt{10}}$
设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$Y=X^3$ ，则 $X$ 与 $Y(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不相关且相互独立
$\text{B.}$ 不相关且不相互独立
$\text{C.}$ 相关且相互独立
$\text{D.}$ 相关且不相互独立
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
已知随机变量 $X$ 服从二项分布，且 $E X=2.4, D X=1.44$ ，则二项分布的参数 $n, p$的值为（ ）。
$\text{A.}$ $n=4, p=0.6$
$\text{B.}$ $n=6, p=0.4$
$\text{C.}$ $n=8, p=0.3$
$\text{D.}$ $n=24, p=0.1$
将一枚硬市重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $X$ 和 $Y$的相关系数等于 $\qquad$。
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1