填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $b$ 为一常数，设集合
$$
V=\left\{\boldsymbol{\alpha} \left\lvert\, \boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_1+a_2+b
\end{array}\right]\right., a_1, a_2, b \in \mathbb{R}\right\},
$$
若 $V$ 是向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，则 $b=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $R ^3$ 中，子集 $W=\left\{\left(a_1, a_2, 0\right)^{ T } \mid a_1, a_2 \in k\right\}$ 能否成为 $R ^3$ 的子空间？
在 $R ^3$ 中，子集 $W=\left\{\left(a_1, a_2, a_3\right)^{ T } \mid a_1 \geqslant 0\right\}$ 能否成为 $R ^3$ 的一个子空间？
定义在实数域上的全体 $n$ 阶方阵所构成的线性空间 $M_n( R )$中，由全体 $n$ 阶上三角矩阵所构成子集 $W$ ，能否成为 $M_n( R )$ 的一个子空间？
在由实数域 $R$ 到实数域 $R$ 的所有函数构成的线性空间 $V$ 中，子集 $W=\{f(x) \mid f(5)=f(2)\}$ 是否为子空间？
已知 $R ^3$ 上一个线性变换 $\sigma$ 为
$$
\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{T}=\left(x_1+x_2+x_3, x_2+x_3, x_3\right)^{T}
$$
$\forall\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T } \in R ^3$ ．试证 $\sigma$ 为可逆变换，并求 $\sigma^{-1}$ 。
设 $\sigma, \tau, \rho$ 均是线性空间 $V$ 的线性变换．若 $\sigma \tau=\tau \sigma$ ，我们称线性变换 $\sigma$ 与 $\tau$ 可交换．试证：（1）若 $\sigma, \tau$ 都与 $\rho$ 可交换，则 $\sigma \tau, \sigma^2$ 也与 $\rho$ 可交换；（2）若 $\sigma$ 与 $\rho$ 可交换，且 $\sigma$ 可逆，则 $\sigma^{-1}$ 与 $\rho$ 也可交换．
设 $R ^3$ 中线性变换 $\sigma$ 的定义如下：$\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }=\left(2 x_1-\right.$ $\left.x_2, x_2-x_3, x_2+x_3\right)^{ T }$ ．求 $\sigma$ 在自然基： $\varepsilon _1=(1,0,0)^{ T }, \varepsilon _2=(0,1,0)^{ T }$ ， $\varepsilon _3=(0,0,1)^{ T }$ 下的对应矩阵。
在 $R ^2$ 中，求一个线性变换 $\sigma$ ，使 $\sigma(1,2)^{ T }=(2,3)^{ T }, \sigma(0,1)^{ T }=$ $(1,4)^{ T }$ ．并求 $\sigma(3,4)^{ T }$ ．
设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个一维向量空间，试证 $V$ 到自身的映射 $\sigma$ 是线性变换的充分必要条件是对 $\forall \alpha \in V$ ，都有 $\sigma( \alpha )=\lambda \alpha$ ，其中 $\lambda$ 是 $F$ 中一个常数。
设 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 为欧几里得空间 $R ^n$ 中的一组基。证明：存在 $R ^n$ 中的一组标准正交基 $\beta_1, \cdots, \beta_n$ 使得 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 到 $\beta_1, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵为上三角矩阵。
在 $R^3$ 中，求由基底 $\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2=(1,0,1), \alpha_3=(0,1,1)$到基底 $\beta_1=(1,0,0), \beta_2=(1,1,0), \beta_3=(1,1,1)$ 的过渡矩阵。
（数学一）已知 $R ^3$ 中的两个基 $\alpha _1=[1,1,0]^{ T }, \alpha _2=[0,1,1]^{ T }, \alpha _3=[1,0,1]^{ T } ; \beta _1= [1,0,0]^{ T }, \beta _2=[1,1,0]^{ T }, \beta _3=[1,1,1]^{ T }$ ．
（1）求 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 到 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 的过渡矩阵；
（2）已知 $\xi$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $[1,0,2]^{ T }$ ，求 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标；
（3）求在上述两个基下有相同坐标的向量．