单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
已知 $\int f\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x=\sin \left(x^2\right)+C$ ，则 $f(x)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 x \cos \left(x^2\right)$ ；
$\text{B.}$ $4 x \cos \left(x^2\right)$ ；
$\text{C.}$ $2 x \cos \left(4 x^2\right)$ ；
$\text{D.}$ $4 x \cos \left(4 x^2\right)$ ．
设 $f(x)$ 为微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解, 且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递减
$\text{B.}$ $x_0$ 处取极小值
$\text{C.}$ $x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递增
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设直线 $L$ 经过点 $M(1,-2,0)$ 且与两条直线
$L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\ x-y+3 z=5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-4 t \text { 都垂直, 则 } L \text { 的参数方程为 } \\ z=3\end{array}\right.$
曲线 $y=\int_0^x \tan t d t$ 相应于 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ 的一段弧的弧长是
已知反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则反常积分
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{3}\right)}{\frac{x}{3}} \mathrm{~d} x=
$$
曲线 $L: y=(2 x+1) \int_0^x e ^{-t^2} d t$ 的斜渐近线为 $\qquad$ ．
已知某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程有特解 $y_1(x)= e ^x \cos 2 x, y_2(x)=x$ ，且方程中 $y^{(n)}$前的系数为 1 ，则最小的 $n=$ $\qquad$ ，该方程为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求过直线 $L:\left\{\begin{array}{r}2 x-y-z+1=0 \\ x+y-z-1=0\end{array}\right.$ 且与点 $M_0(1,-1,0)$ 距离最远的平面 $\Pi$ 的一般方程。
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{3^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{3^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{\ln (\cos x)} d x$
设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=a$, 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\int_0^1 g(x t) d t}{x}, x < 0, \\ 1, x=0, \\ \frac{a+b \cos x}{x^2}+c, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 求常数 $a, b, c$ 的值。
$D_1$ 是由 $y=2 x^2, x=2, x=a, y=0$ 所围成的平面图形；$D_2$ 是由 $y=2 x^2, x=a, y=0$ 所围成的平面图形，其中 $0 < a < 2$ ，
（1）分别求 $D_1$ 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 $V_1$ 和 $D_2$ 绕 $y$ 轴旋转一周所生成的旋转体体积 $v_2$ ；
（2）问 $a$ 为何值时，$v_1+v_2$ 最大，并求最大值。
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上连续且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，其中 $l>0$ ．
（1）求证对任意的 $x \in(0, a)$ ，都存在 $\theta \in(0,1)$ ，使得下式成立：
$$
\int_0^x f(t) \mathrm{d} t+\int_0^{-x} f(t) \mathrm{d} t=x[f(\theta x)-f(-\theta x)]
$$
（2）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta$ ．