解答题 （共 35 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{(2-x)^{2}} dx $
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x>0,\end{array}\right.$ 求 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$.
求 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin 2 x+2 \sin x}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 并设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=A$, 求 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x) f(y) \mathrm{d} y$.
计算定积分 $\int_{-2}^2(|x|+x) e^{-|x|} \mathrm{d} x$.
计算定积分 $\int_0^1 x \arcsin x \mathrm{~d} x$.
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x}$ (其中 $a, b$ 为不全为零的非负数).
(1) 求不定积分 $\int e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$.
(2) 计算定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$.
(3) 计算不定积分 $\int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^4+2 x^2+5}$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中由 $y=x, y=x^3$ 围成的封闭区域.
计算
$$
I=\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_2^4 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y .
$$
设 $x \geq-1$ ，求 $\int_{-1}^x(1-|t|) \mathrm{d} t$.
求定积分 $\int_0^3 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}$.
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$.
求不定积分 $F(x)=\int \frac{x+\ln (1-x)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，试计算下列各题:
(1) $S_0=\int_0^2 f(x) e^{-x} \mathrm{~d} x$;
(2) $S_1=\int_2^4 f(x-2) e^{-x} \mathrm{~d} x$;
(3) $S_n=\int_{2 n}^{2 n+2} f(x-2 n) e^{-x} \mathrm{~d} x(n=2,3, \cdots)$ ；
(4) $S=\sum_{n=0}^{\infty} S_n$.
计算 $\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} \mathrm{~d} x$.
求不定积分 $\int \frac{x \cos ^4 \frac{x}{2}}{\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$.
计算 $ I=\int_3^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^4 \sqrt{x^2-2 x}} $
计算 $\int_1^4 \frac{\mathrm{d} x}{x(1+\sqrt{x})}$
求 $\int x \sin ^2 x \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足
$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x .
$$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，计算 $I=\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
求不定积分 $I=\int \frac{x^2}{1+x^2} \arctan x \mathrm{~d} x$.
求定积分 $I=\int_{-1}^1(2 x+|x|+1)^2 \mathrm{~d} x$.
求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2}\left(x^2-t\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(t)$ 为已知的连续函数.
求 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
计算 $I=\int \frac{\operatorname{arccot} e^x}{e^x} \mathrm{~d} x$.
求 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$.
求 $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x)^3} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^1 x\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$.