单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A ^{\top} A$ 是对称矩阵
$\text{B.}$ $A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{C.}$ $A ^{ T } A + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{D.}$ $E + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, $k$ 为非零常数,则有 ( ).
$\text{A.}$ $(k A )^{-1}=k A ^{-1}$
$\text{B.}$ $(k A )^{ T }=k A ^{ T }$
$\text{C.}$ $|k A |=k| A |$
$\text{D.}$ $(k A )^*=k A ^*$
设 $A$ 为可逆矩阵, 则 $\left[\left( A ^{-1}\right)^{ T }\right]^{-1}=$.
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $A ^{ T }$
$\text{C.}$ $A ^{-1}$
$\text{D.}$ $\left( A ^{-1}\right)^{ T }$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $| A |=1$, 则 $\left( A ^*\right)^*=(\quad)$.
$\text{A.}$ $A ^{-1}$
$\text{B.}$ $- A$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $A ^2$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A , B$ 均为 3 阶矩阵, $E$ 为 3 阶单位矩阵, 已知 $A B =2 A + B , B =\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right]$, 求 $A - E$.
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & 0 & 4\end{array}\right], C =\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2\end{array}\right], A B C = E$, 求 $B ^{-1}$.
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶方阵, $A ^*$ 为其伴随矩阵, 证明: 若 $r( A )=n-1$, 则 $r\left( A ^*\right)=1$.
设 $\alpha =\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \beta =\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 分别计算 $\alpha \beta ^{ T }, \beta \alpha ^{ T }, \alpha \alpha ^{ T }$ 及 $\beta ^{ T } \alpha , \alpha ^{ T } \beta , \alpha ^{ T } \alpha$.