单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
$X \sim N(0,4)$, 则 $P(X < 1)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{8}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{4} e^{-\frac{x^2}{4}} d x$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} d x$
幂级数 $\sum_1^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ 的收敛区间是（）。
$\text{A.}$ $[1,3]$
$\text{B.}$ $[1,3)$
$\text{C.}$ $(-1,1)$
$\text{D.}$ $[-1,1)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{2 x^2-y^2}{2 x^2+y^2}$
$y^{\prime \prime}+\sqrt{1-y^{\prime 2}}=0$, 则通解
方程 $e^y-y^{\prime}=\frac{1}{x}$ 的通解为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin x^2 y}{(\cos x-1) \arcsin y}$ 。
$\iint_D(a-2 x-3 y) d x d y$, 其中 $D$ 为由 $x^2+y^2=R^2$ 所围区域。
$y^3 d x+2\left(x^2-x y^2\right) d y=0$, 求通解。
设 $z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
投掷均匀的股子 $n$ 次, 所得 $n$ 个点数的最小值、最大值分别记为 $\xi 、 \eta$, 求 $\xi$ 、 $\eta$ 分布列。
求 $f(x)=\frac{1}{x^2+3 x+2}$ 在点 $x=-4$ 处的 Taylor 级数。
1. 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $P_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2} x^2, & -1 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}, Y=3-X\right.$, 求:
（1） $Y$ 的概率密度函数；（2） $E Y 、 D Y $
验证函数 $y=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots(-\infty < x < +\infty)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=e^x$,并用此结果求 $\sum_0^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数。
求 方 程 $x+y y^{\prime}=f(x) g\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 的 通 解, 并由 此结果求 $x+y y^{\prime}=\tan x \cdot\left(\sqrt{x^2+y^2}-1\right)$ 的通解。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上为恒大于零的连续函数, 用二重积分证明 $\int_a^b f(x) d x \cdot \int_a^b \frac{d x}{f(x)} \geq(b-a)^2 。$
设 $\sum_1^{\infty}\left(a_n-a_{n-1}\right)$ 收敛, 正项级数 $\sum_1^{\infty} b_n$ 收敛, 证明: $\sum_1^{\infty}(-1)^n a_n b_n$ 绝对收敛。