解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A, B, C$ 为集合．证明：
（1）若 $A-B \sim B-A$ ，则 $A \sim B$ ．
（2）若 $A \subset B$ ，且 $A \sim A \cup C$ ，则 $B \sim B \cup C$ ．
（1）作 $R$ 与 $R - Q$ 之间的一一映射．
（2）作 $(0,1] \times(0,1]$ 与 $(0,1]$ 之间的一一映射．
证明：（1）任一可数集的所有有限子集全体为可数集（对照例1．2．9）．
（2）$g$ 进制有限小数全体为可数集．无限循环小数全体也为可数集．
（3）对于有理数集 $Q$ ，施行 $+, ~-, \times, \div, \sqrt{ }, \sqrt[3]{ }, \cdots$ 有限次（包括零次）运算所得到的一切数的全体为可数集。
（4） $R ^n$ 中以有理点（即坐标都为有理数的点）为中心，以正有理数为半径的开球（或闭球；或闭球面）的全体 $A$ 为可数集．
设 $a_0, a_1, \cdots, a_n \in Z , a_n \neq 0$ ．如果复数 $z \in C$ 为整系数代数方程
$$
a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0=0
$$
的根，则称 $z$ 为代数数． C 中非代数数称为超越数．证明：代数数全体为可数集；超越数全体的势为 $\kappa$ 。
设 $E \subset R$ ，证明：集合
$$
A=\left\{x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right) \in R ^{\infty} \mid x_n \in E, \quad n \in N \right\}
$$
的势 $\bar{A} \leqslant \kappa$ 。
证明：不存在集合 $A$ ，使得 $2^A$ 为可数集．
设 $B V([a, b])=\{f \mid f:[a, b] \rightarrow R$ 为有界变差函数 $\}$,证明：$\overline{\overline{B V([a, b])}}=\kappa$
设 $A$ 与 $B$ 为集合，$A \times A \sim A, \bar{B} \leqslant \overline{\bar{A}}$ ．
（1）如果 $\bar{A}=0$（即 $A$ 为空集），则 $A \cup B \sim A$ ．
（2）如果 $\bar{A}=1$（即 $A$ 为独点集）， $\bar{B}=0$（即 $B$ 为空集），则 $A \cup B \sim A$ ．
（3）如果 $\bar{A}=1$（即 $A$ 为独点集）， $\bar{B}=1$（即 $B$ 为独点集），且 $A=B$ ，则 $A \cup B \sim A$ ．
（4）如果 $\bar{A}=1$（即 $A$ 为独点集）， $\bar{B}=1$（即 $B$ 为独点集），且 $A \neq B$ ，则 $A \cup B \nsim A,(\nsim$ 表示不对等）。
（5）如果 $\bar{A} \geqslant 2$（即 $A$ 至少含两个不同的点），则 $A \cup B \sim A$ ．